「ノルム (体論)」の版間の差分

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{{複数の問題|出典の明記=2015年1月|正確性=2015年1月}}
[[体論]]において、'''ノルム''' (''norm'') は、[[体 (数学)|体]]の拡大(とくに[[ガロア拡大]]などの[[代数拡大]])に付随して現れる写像の一種で、拡大体の元をもとの体の元に移す性質を持つ。
 
== 定義 ==
[[体 (数学)|体]]の[[有限拡大|有限次元拡大]] ''L'' / ''K'' に対し、''L'' の元 &alpha; のノルム ''N''<sub>''L''/''K''</sub>(&alpha;) は以下のように定義される。
 
''K'' の ''L'' を含む代数閉包 ''K''<sup>^a</sup> を固定し、&sigma;<sub>''i''</sub>: ''L'' &rarr; ''K''<sup>^a</sup> (1 &le; ''i'' &le; ''n'') を ''K'' の元を固定する相異なる中への同型の全体とするとき
{{Indent|:<math>N_{L/K}(\alpha) := \left(\sigma_1(\alpha)\cdots\sigma_n(\alpha).\right)^{[L:K]_i}</math>}}:
ここで、[''L'':''K''}<sub>''i''</sub> は[[分離拡大|非分離次数]]である。
 
== 例 ==
* 拡大 ''L'' / ''K'' について、''L'' の任意の元 &alpha; に対し、''N''<sub>''L''/''K''</sub>(&alpha;) は ''K'' の元になる。
* 拡大 ''L'' / ''K'' と ''L'' の元 &alpha;, &beta; に対し
**::<math>N_{L/K}(\alpha\beta) =
N_{L/K}(\alpha)\cdot N_{L/K}(\beta).
</math>
* 拡大の列 ''L'' / ''M'' / ''K'' と ''L'' の元 &alpha; に対し
**::<math>N_{L/K}(\alpha) = N_{LM/MK} (\alpha)\cdot N_{L/M/K}(\alpha)).</math>
* 拡大 ''L'' / ''K'' について ''L'' を ''K''-ベクトル空間と見ると &alpha;&isin;''L'' に対し&alpha;倍写像:''L'' &rarr; ''L'' は ''K''-線型写像であるが、この写像を行列表示したときの行列式は体の拡大のノルムと一致する。
* '''[[ヒルベルトの定理 90]]''': 体の拡大 ''L'' / ''K'' が有限次巡回拡大でその[[ガロア理論|ガロア群]]が &sigma; で生成されるとき、以下の 2 つの条件が同値である。
*# ''N''<sub>''L''/''K''</sub>(&alpha;) = 1.
*# &alpha; = &beta; / &sigma;(&beta;) を満たす ''L'' の元 &beta; が存在する。
 
== 関連項目 ==
* [[トレース (体論)|トレース]]
 
{{DEFAULTSORT:のるむ}}
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