「円分体」の版間の差分

 

以下において、特に断らない限り、<math>\zeta_n = e^{2\pi i/n}</math> とする。

 

== 性質 ==

* 3 以上の[[整数]] ''m'' に対して、円分体 <math>\scriptstyle\mathbb{Q}(\zeta_m)</math> の[[体の拡大#定義|拡大次数]] <math>\scriptstyle [\mathbb{Q}(\zeta_m):\mathbb{Q}]</math> は、<math>\scriptstyle\varphi(m)</math> である。但し、<math>\scriptstyle\varphi(n)</math> は[[オイラー関数]]である。

* 任意の円分体は、[[代数体#共役体|ガロア拡大体]]であり、[[ガロア理論|ガロア群]]は、[[アーベル群]]である。

* 3 以上の整数 ''m'' に対して、<math>\scriptstyle m = p_1^{e_1}\cdots p_r^{e_r}</math> (<math>\scriptstyle p_1,\ldots,\ p_r</math> は、相異なる[[素数]]、<math>\scriptstyle e_1,\ldots,e_r\ge 1)</math> と[[素因数分解]]すると、

:: <math>\mathbb{Q}(\zeta_m)</math> は、<math>\mathbb{Q}(\zeta_{p_1^{e_1}}),\ldots,\ \mathbb{Q}(\zeta_{p_r^{e_r}})</math> の[[体の拡大#中間体|合成体]]であり、

: が成立する。また、円分体 <math>\scriptstyle\mathbb{Q}(\zeta_m)</math> で分岐する有理素数<ref>有理整数である素数のこと。</ref>は、<math>\scriptstyle p_1,\ldots,\ p_r</math> に限る。

* <math>\scriptstyle\mathbb{Q}(\zeta_m)\cap\mathbb{R} = \mathbb{Q}(\zeta_m + 1/\zeta_m)</math> である。この<math>\scriptstyle\mathbb{Q}(\zeta_m + 1/\zeta_m)</math> を、'''最大実部分体'''または'''実円分体'''という。

* [[素元分解整域|一意分解整域]]である円分体 <math>\scriptstyle\mathbb{Q}(\zeta_m)</math> <math>\scriptstyle(m\not\equiv 2</math> (mod 4))<ref><math>m=4k+2</math> としたとき、<math>\scriptstyle\mathbb{Q}(\zeta_m)=\mathbb{Q}(\zeta_{2k+1})</math> であるので、<math>\scriptstyle m\not\equiv 2</math> (mod 4) としてよい。</ref>は、''m'' = 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 24, 25, 27, 28, 32, 33, 35, 36, 40, 44, 45, 48, 60, 84 だけである。

:* 特に、23 以上の素数 ''p'' に対して、円分体 <math>\scriptstyle\mathbb{Q}(\zeta_p)</math> は一意分解整域ではない。

* [[代数体#類数|類数]]が 2 である円分体 <math>\scriptstyle\mathbb{Q}(\zeta_m)</math> <math>\scriptstyle(m\not\equiv 2</math> (mod 4)) は、''m'' = 39, 56 だけである。

* 円分体 <math>\scriptstyle\mathbb{Q}(\zeta_m)</math> に含まれる[[代数的数|代数的整数]]の集合は、<math>\scriptstyle\mathbb{Z}[\zeta_m]</math> である。

 

== 円分体の判別式 ==

 

''K'' の[[代数体#判別式|判別式]]判別式は、<math>(-1)^{(m-1)/2}m^{m-2}</math> である。

 

(2) <math>m = p^h</math> (''p'' は素数、''h'' は 2 以上の整数)のとき

 

''K'' の判別式は、<math>\scriptstyle\varepsilon p^{p^{h-1}(h(p-1)-1)}</math> である。但し、

 

(3) <math>\scriptstyle m = p_1^{e_1}\cdots p_r^{e_r}</math> (<math>\scriptstyle r\ge 2,\ p_1,\ldots,\ p_r</math> は相異なる素数、<math>\scriptstyle e_1,\ldots,e_r\ge 1)</math> のとき

:<math>\prod_{i=1}^r D_i^{\varphi(m)/\varphi(p_i^{e_i})}</math>

である。

 

== アーベル拡大体の埋め込み ==

''K'' を有理数体上の[[アーベル拡大|アーベル拡大体]]としたとき、ある整数 <math>\scriptstyle m\ge 3</math> が存在して、

: <math>K\sub\mathbb{Q}(\zeta_m)</math> 。

 

例えば、[[二次体]]はアーベル拡大体であるので、クロネッカー＝ウェーバーの定理より、ある円分体の部分体になる。

 

クロネッカー＝ウェーバーの定理は、基礎体が有理数体であるときを考えているが、基礎体を[[二次体|虚二次体]]にしたときも、同様なことが成立するかを問うたのが、[[クロネッカーの青春の夢]]である。

== 円分体と初等整数論 ==

=== フェルマーの最終定理 ===

素数 ''p'' に対して、

:<math>x^p + y^p = z^p</math>

クンマーは、素元の分解が一意でなくとも、ある性質をもつ素数である場合、彼らの証明のアイデアを生かしながら、フェルマーの最終定理が成立することを証明した。

 

* 素数 ''p'' は、円分体 <math>\scriptstyle\mathbb{Q}(\zeta_p)</math> の[[円分体#円分体の類数|類数]]を割り切らない。

 

正則素数に対しては、以下の補題が成立し、クンマーは、この補題を用いて、ベキが正則素数の場合のフェルマーの最終定理を証明した。

 

素数 ''p'' が正則素数であれば、円分体 <math>\scriptstyle\mathbb{Q}(\zeta_p)</math> の単数 &epsilon; を、<math>\scriptstyle\varepsilon\equiv a\ (\operatorname{mod}\ (1-\zeta_p)^p)</math> となる有理整数 ''a'' が存在するようにとると、 <math>\scriptstyle\mathbb{Q}(\zeta_p)</math> の単数 <math>\scriptstyle\varepsilon_0</math> が存在して、<math>\scriptstyle\varepsilon = \varepsilon_0^p</math> と表される。

 

正則素数についての詳細は、[[正則素数]] を、フェルマーの最終定理については、[[フェルマーの最終定理]]を参照のこと。

 

=== 平方剰余の相互法則 ===

高次ベキの剰余の相互法則は、その後、[[フィリップ・フルトヴェングラー|フルトヴェングラー]] (P. Furtwängler)により全ての素数に対して与えられ、さらに、[[類体論]]の結果を用いて、[[高木貞治|高木]]、アルティン (E. Artin)、ハッセ (H. Hasse)らにより、より一般の形での相互法則が得られた。

 

== 円分体の類数 ==

=== 円分体の類数の性質 ===

以下において、''p'' を奇素数とする。

 

<math>h(m) = h_1(m)h_2(m)</math> (<math>h_1(m)</math> は有理整数)と表すことができる。

このとき、<math>h_1(m)</math> を'''第1因子'''または'''相対類数'''、<math>h_2(m)</math> を'''第2因子'''または'''実類数'''という。

 

第1因子については、以下の様な性質がある。

: つまり、第1因子が ''p'' で割り切れないならば、''p'' は正則素数である。

: この性質により、第1因子はフェルマーの最終定理との関連で多くの研究がなされている。

* 素数 ''p'' に対して、''p'' が第1因子を割り切る必要十分条件は、<math>p^2</math> が、<math>\scriptstyle\sum_{j=1}^{p-1}j^{2k}</math> を割り切る様な整数 ''k'' <math>\scriptstyle (1\le k\le (p-3)/2)</math> が存在することである。

* <math>h_1(p)</math> が奇数であるならば、<math>h_2(p)</math> は奇数である。

 

クンマーは、第1因子の増大度に対して、<math>\scriptstyle\lim_{p\to\infty}h_1(p)/\gamma(p) = 1</math> と予想した。

この予想が成立するかは不明であるが、例えば、以下のことが知られている。

: <math>\lim_{p\to\infty}\frac{\log(h_1(p)/\gamma(p))}{\log p} = 0</math> 。

 

第2因子に対しては、以下の様な性質がある。第1因子よりも取り扱いが難しいため、第2因子の性質はあまり分かっていない。

 

ヴァンディヴァー (H. S. Vandiver)は、''p'' は <math>h_2(p)</math> を割り切らないと予想した('''ヴァンディヴァー予想''')。現在でも、この予想が正しいかは不明である。

 

=== 円分体の類数公式 ===

:* <math>h_1(m) = \frac{\delta}{(2m)^{\frac{1}{2}\varphi(m)-1}}\prod_{\chi\in S}\sum_{n=1}^{m-1}\chi(n)n</math> 。

:: ここで、

:: ''S'' は、<math>\chi(-1) = -1</math> を満たす、法 ''m'' に関する[[ディリクレ指標|指標]]の集合とする。

 

: 特に、''m'' が素数 ''p'' の場合、以下の形で表される。

:* <math>h_1(p) = \frac{1}{(2p)^{(p-3)/2}}\left|\prod_{\chi\in S}\sum_{k=1}^{p-1}\chi(k)k\right|</math> 。

 

: ''m'' が素数のとき、以下の様な式がある。

:: ここで、&eta; は、1 の原始 <math>p-1</math> 乗根とし、<math>\scriptstyle G(X) = \sum_{j=0}^{p-2}g_jX^j</math> 。

:: 但し、''g'' を、法 ''p'' に対する原始根としたとき、<math>\scriptstyle j=0,1,\ldots,p-2</math> に対して、<math>\scriptstyle 1\le g_j\le p-1</math> は、<math>\scriptstyle g^j\equiv g_j\ (\operatorname{mod}\ p)</math> を満たす正整数とする。

 

:* ''p'' の倍数ではない整数 ''r'' に対して、<math>\scriptstyle 1\le R(r)\le p-1</math> を、<math>\scriptstyle r\equiv R(r)\ (\operatorname{mod}\ p)</math> を満たすようにとる。

::また、<math>\scriptstyle 1\le r'\le p-1</math> を、<math>\scriptstyle rr'\equiv 1\ (\operatorname{mod}\ p)</math> を満たすようにとる。

:: <math>M_p = (R(rs'))_{r,s=1,2,\ldots,(p-1)/2}</math> <ref>'''マイレ(Maillet)の行列'''という。</ref>とおくと、

* 第2因子

:* <math>h_2(m) = \frac{2^{\frac{1}{2}\varphi(m)-1}}{R}\prod_{\chi\in T}\sum_{n=1}^{[\frac{m-1}{2}]}\chi(n)\log|1-\zeta_m^n|</math> 。

:: ここで、''R'' は、<math>\scriptstyle\mathbb{Q}(\zeta_m)</math> の[[代数体#単数基準|単数基準]]、''T'' は、<math>\chi(-1) = 1</math> を満たす、法 ''m'' に関する指標のうち、単位指標ではない指標の集合とする。

 

: 特に、''m'' が素数 ''p'' の場合、以下の形で表される。

:* <math>h_2(p) = \frac{2^{(p-3)/2}}{R}\prod_{k=1}^{(p-3)/2}\left|\sum_{j=0}^{(p-3)/2}\eta^{2k^j}\log|1-\zeta_p^{g^j}|\right|</math> 。

:: ここで、&eta; は、1 の原始 <math>p-1</math> 乗根、''g'' は、法 ''p'' に対する原始根とする。

 

: ''m'' が素数のとき、以下の様な式がある。

::: <math>M = (\log\sigma^{i+j}(\delta))_{i,j=0,1,\ldots,(p-5)/2}</math>

:: とおくと、

:: 但し、''R'' は、<math>\scriptstyle\mathbb{Q}(\zeta_p)</math>の単数基準とする。

 

== 注釈 ==

<references />

 

== 参考文献 ==

* {{Cite book|和書|last=ノイキルヒ|first=J.|translator=足立恒雄(監修)・梅垣敦紀|year=2003|title=代数的整数論|publisher=シュプリンガー・フェアラーク東京|location=東京}}

* {{Cite journal|last=Masley|first=J. M.|title=Solution of the class number two problem for cyclotomic fields |journal=Invent. Math.|volume=28|year=1975|pages=243-244}}

 

== 関連項目 ==