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<!--{{tone|date=June 2014}}-->{{要改訳}}
複素解析では、'''
この定理の名前は 混同の恐れのない限り、単に'''ワイエルシュトラスの定理'''（ワイエルシュトラスのていり、{{lang-en-short|Weierstrass theorem}}）とも呼ばれる。
定理は[[有理型函数]]へ拡張され、与えられた有理型関数を 3つの要素の積として考えることが可能になる。3つの要素は、函数の極、函数の零点に依存するものと、これらに付帯する 0 でない[[正則函数]]である。
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* 複素平面内のすべての多項式函数は、[[因数分解]] <math>p(z) = a\prod_n(z-c_n)</math> を持っている。ここに、a は 0 でない定数で、c<sub>n</sub> は p の零点である。
問題の無限積の収束の必要条件は、各々の因子 <math> (z-c_n) </math> が <math>n\to\infty</math> のとき、1 へ近づくはずで、従って、前もって与えられた点で 0 となるような函数を探すことが理由である。しかし、1 の近くにも 1 ではないが前に述べたような零点は持たない。ヴァイエルシュトラスの'''基本因子'''(elementary factors)は、これらの性質を持ち、上の因子 <math> (z-c_n) </math> として同じ目的を果たす。
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===特定の零点を持つ整函数の存在===
時々、'''
<math>\{a_n\}</math> を 0 にはならない複素数の数列で、<math>|a_n|\to\infty</math> とする。<math>\{p_n\}</math> がすべての <math>r>0</math> に対して、
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* Note also that the case given by the fundamental theorem of algebra is incorporated here. If the sequence <math>\{a_n\}</math> is finite then we can take <math>p_n = 0</math> and obtain: <math>\, f(z) = c\,{\displaystyle\prod}_n (z-a_n)</math>.-->
==={{anchors|ヴァイエルシュトラスの因数分解定理}}ワイエルシュトラスの因数分解定理===
f を[[整函数]]とし、<math>\{a_n\}</math> を多重度に従った f の 0 以外の零点とする。f が z = 0 で位数 m ≥ 0 である零点を持つとする（ z = 0 で位数 m = 0 の零点とは、ƒ(0) ≠ 0 を意味する）と、整函数 g と整数の数列 <math>\{p_n\}</math> が存在し、
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===アダマールの因数分解定理===
f が有限の位数<ref>z = 0 で m 位の零点 (m ≧ 0) を持ち、その他の零点が α<sub>1</sub>, α<sub>2</sub>,...,α<sub>n</sub>, α<sub>n+1</sub>,... (0 < |α<sub>1</sub>| ≦ |α<sub>1</sub>| ≦ |α<sub>3</sub>| ...→ ∞) である超越整函数 f(z)を、
:<math>f(z)=e^{g(z)}z^m\prod^\infty_{k=1}\biggl(1-\frac{z}{\alpha_k}\biggr)e^{g_k(z/\alpha_k)}</math>
と表すことができる。ここに、g(z) は整函数で、
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* {{springer|title=Weierstrass theorem|id=p/w097510}}
{{DEFAULTSORT:
[[Category:複素解析]]
[[Category:定理]]
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