「5項補題」の版間の差分

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[[数学]]、特に{{仮リンク|[[ホモロジー代数学|en|Homological algebra}}]]や[[アーベル圏]]の理論の応用において、'''5項補題'''(ごこうほだい、{{lang-en-short|five lemma}})、'''ファイブ・レンマ'''は、{{仮リンク|[[可換図式|en|Commutative diagram}}]]についての重要で広く用いられる[[補題]]である。5項補題はアーベル圏''だけでなく''例えば{{仮リンク|群の圏|en|category of groups}}においても成り立つ。
 
5項補題は2つの他の定理、'''four lemmas''' を合わせたものと考えることができる。この2つは互いに[[圏同値|双対]]である。
 
== ステートメント ==
任意の[[アーベル圏]]([[アーベル群]]の圏や与えられた[[体 (数学)|体]]上の[[ベクトル空間]]の圏など)や[[群 (数学)|群]]の圏において以下の{{仮リンク|[[可換図式|en|Commutative diagram}}]]を考える。
 
[[imagefile:FiveLemma5 lemma.pngsvg]]
 
5項補題は次のものである。2つの行が[[完全列|完全]]で、''m'' と ''p'' が[[同型]]射で、''i'' が[[エピ射]]で、''q'' が[[モノ射]]であれば、''n'' も同型射である。
'''(1)''' 可換図式
 
[[imagefile:FourLemma014 lemma right.pngsvg]]
 
の行が完全で ''m'' と ''p'' がエピ射で ''q'' がモノ射ならば、''n'' はエピ射である。
'''(2)''' 可換図式
 
[[imagefile:FourLemma024 lemma left.pngsvg]]
 
の行が完全で ''m'' と ''p'' がモノ射で ''l'' がエピ射ならば、 ''n'' はモノ射である。
さて、(1) を証明するために、''m'' と ''p'' が全射で ''q'' が単射であると仮定する。
 
[[imagefile:FourLemma014 lemma right.pngsvg]]
 
* ''c′'' を ''C′'' の元とする。
* ''p'' は全射なので、ある元 ''d'' ∈ ''D'' が存在して、''p''(''d'') = ''t''(''c′'').
次に、(2) を証明するために、''m'' と ''p'' が単射で ''l'' が全射と仮定する。
 
[[imagefile:FourLemma024 lemma left.pngsvg]]
 
* ''c'' ∈ ''C'' を ''n''(''c'') = 0 であるような元とする。
* すると ''t''(''n''(''c'')) は 0 である。
 
== 応用 ==
5項補題はしばしば{{仮リンク|[[長完全列|en|long exact sequence}}]]に適用される。与えられた対称の[[ホモロジー]]やコホモロジーを計算するとき、大体はホモロジー/コホモロジーのわかっているより単純な部分対象を使って、もとの対象の、わかっていないホモロジー群を含む長完全列を得る。これだけではわかっていないホモロジー群を決定するには十分でないが、もとの対象と部分対象を射を通じてよくわかっている対象と比べれば、それぞれの長完全列の間の射が誘導され、したがって5項補題をわかっていないホモロジー群を決定するのに使うことができる。
 
== 関連項目 ==
* {{仮リンク|短5項補題|en|Short five lemma}}、5項補題の特別な場合で、[[短完全列]]に対するもの
* {{仮リンク|[[蛇の補題|en|Snake lemma}}]]、diagram chasing によって証明できる別の補題
* {{仮リンク|[[9項補題|en|Nine lemma}}]]
 
== 脚注 ==
17,390

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