「ホモロジー代数学」の版間の差分

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[[File:SnakeLemma01.png|thumb|350px|ホモロジー代数学における基本的な結果である[[蛇の補題]]で用いられる図式。]]
 
'''ホモロジー代数学'''({{lang-en-short|homological algebra}})は、一般の代数的な設定のもとで[[ホモロジー (数学)|ホモロジー]]を研究する[[数学]]の分野である。それは比較的新しい分野であり、その起源は19世紀の終わりの、{{仮リンク|組み合わせ論的トポロジー|en|combinatorial topology}}([[代数トポロジー]]の前身)と[[抽象代数学]]([[環上の加群|加群]]や {{仮リンク|シジギーsyzygy|en|Syzygy (mathematics)}}(Syzygy) の理論)の、主に[[アンリ・ポワンカレ]]と[[ダフィット・ヒルベルト]]による研究にまでさかのぼる。
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[[多項式]][[環 (数学)]]上の[[環上の加群|加群]]に関する Hilbert の仕事。
 
== ホモロジー代数学の歴史 ==
ホモロジー代数学は1800年代にトポロジーの1つの分野としてその最も基本的な形が研究され始めたが、[[Ext関手]]や{{仮リンク|[[Tor関手|en|Tor functor}}]]のような対象の研究が独立した主題になるのは1940年代になってからであった<ref name="Weber">History of Homological Algebra, by Chuck Weibel, pp.797-836 in the book The History of Topology, ed. I.M. James, Elsevier, 1999</ref>。
 
== チェイン複体とホモロジー ==
として定義できる。チェイン複体は、すべてのそのホモロジー群が 0 であるときに、'''非輪状''' (acyclic) または'''[[完全列]]'''、'''完全系列''' (exact sequence) と呼ばれる。
 
チェイン複体は[[抽象代数学|代数学]]や[[代数トポロジー]]においてよく現れる。例えば、''X'' が[[位相空間]]であれば、その{{仮リンク|[[特異チェイン|en|singular chain}}]] ''C''<sub>''n''</sub>(''X'') は標準 ''n''-[[単体 (数学)|単体]]から ''X'' の中への[[連続写像]]の形式的な[[線型結合]]である。''K'' が[[単体的複体]]であれば{{仮リンク|鎖 (代数トポロジー)|label=単体的チェイン|en|Chain (algebraic topology)}} ''C''<sub>''n''</sub>(''K'') は ''X'' の ''n''-単体の形式的な線型結合である。''A''&nbsp;=&nbsp;''F''/''R'' がアーベル群 ''A'' の{{仮リンク|生成元と関係式|en|Presentation of a group}} (generators and relations) による表現、ただし ''F'' は生成元で張られた{{仮リンク|[[自由アーベル群|en|free abelian group}}]]で ''R'' は relations の部分群、であれば、''C''<sub>1</sub>(''A'')&nbsp;=&nbsp;''R'', ''C''<sub>0</sub>(''A'')&nbsp;=&nbsp;''F'', そしてすべての他の ''n'' に対して ''C''<sub>''n''</sub>(''A'')&nbsp;=&nbsp;0 とすることによって、アーベル群の列が定義される。これらのケースではすべて、''C''<sub>''n''</sub> を複体にする自然な微分 ''d''<sub>''n''</sub> が存在する。その複体のホモロジーは位相空間 ''X''、単体的複体 ''K''、あるいはアーベル群 ''A'' の構造を反映している。位相空間のケースでは、[[特異ホモロジー]]の概念に到達する。これはそのような空間例えば[[多様体]]の性質を研究する際に基本的な役割を果たす。
哲学的なレベルでは、ホモロジー代数学は、代数的あるいは幾何学的対象(位相空間、単体的複体、''R''-加群)に伴ったチェイン複体は、ホモロジーは最も容易に得られる部分でしかないが、それらについてたくさんの価値ある代数的情報を含む、ということを教えてくれる。専門的なレベルでは、ホモロジー代数学は複体を巧みに処理しこの情報を抽出するためのツールを提供する。ここに2つの一般的な例がある。
* 2つの対象 ''X'' と ''Y'' がそれらの間の写像 ''f'' で結ばれている。ホモロジー代数学は ''f'' によって誘導される、''X'' と ''Y'' に伴うチェイン複体とそれらのホモロジーの間の関係を研究する。これは複数の対象とそれらをつなげる写像の場合に一般化される。[[圏論]]の言葉で言えば、ホモロジー代数学はチェイン複体とこれらの複体のホモロジーのさまざまな構造の[[関手]]的性質を研究する。
群と準同型の列の長さは有限でも無限でもよいことに注意する。
 
同様の定義はある種の他の[[代数的構造]]に対してもすることができる。例えば、[[ベクトル空間]]と[[線型写像]]の完全列や、[[環上の加群|加群]]と{{仮リンク|[[加群準同型|en|module homomorphism}}]]の完全列がある。より一般的に、完全列の概念は、{{仮リンク|核 (圏論)|label=核|en|kernel (category theory)}}と{{仮リンク|[[余核|en|cokernel}}]]ともった任意の[[圏]]において意味をもつ。
 
==== 短完全列 ====
完全列の最もよく現れるタイプは'''短完全列''' (short exact sequence) である。これは
:<math>A \;\overset{f}{\hookrightarrow}\; B \;\overset{g}{\twoheadrightarrow}\; C</math>
の形の完全列である。ただし &fnof; は{{仮リンク|[[モノ射|en|Monomorphism}}]]で ''g'' は{{仮リンク|[[エピ射|en|Epimorphism}}]]である。この場合、''A'' は ''B'' の{{仮リンク|部分対象|en|subobject}}であり、対応する[[商]]は ''C'' に[[同型]]である。
:<math>C \cong B/f(A)</math>
(ただし ''f(A)'' = im(''f''))。
アーベル群の短完全列は5つの項をもった完全列として書くこともできる。
:<math>0 \;\xrightarrow{}\; A \;\xrightarrow{f}\; B \;\xrightarrow{g}\; C \;\xrightarrow{}\; 0</math>
ただし 0 は{{仮リンク|[[自明群|en|trivial group}}]]や0次元ベクトル空間といった[[零対象]]を表す。0 の配置によって &fnof; は単射であり ''g'' はエピ射になる(下記参照)。
 
==== 長完全列 ====
=== 五項補題 ===
{{Main|5項補題}}
任意の[[アーベル圏]]([[アーベル群]]の圏や与えられた[[体 (数学)|体]]上の[[ベクトル空間]]の圏など)や[[群 (数学)|群]]の圏において以下の{{仮リンク|[[可換図式|en|Commutative diagram}}]]を考える。
 
[[imagefile:FiveLemma5 lemma.pngsvg]]
 
5項補題は次のものである。2つの列が[[完全列|完全]]で、''m'' と ''p'' が[[同型]]射で、''i'' が{{仮リンク|[[エピ射|en|Epimorphism}}]]で、''q'' が{{仮リンク|[[モノ射|en|Monomorphism}}]]であれば、''n'' も同型である。
 
=== 蛇の補題 ===
{{Main|蛇の補題}}
任意の[[アーベル圏]]([[アーベル群]]の圏や与えられた[[体 (数学)|体]]上の[[ベクトル空間]]の圏など)において、{{仮リンク|[[可換図式|en|Commutative diagram}}]]
 
[[File:SnakeLemma01Snake lemma origin.pngsvg]]
 
を考える。ただし2つの列は[[完全列|完全]]で、0 は[[零対象]]である。すると ''a'', ''b'', ''c'' の[[核 (数学)|核]]や{{仮リンク|[[余核|en|cokernel}}]]に関連した完全列
 
<math>\ker a \; {\color{Gray}\longrightarrow} \ker b \; {\color{Gray}\longrightarrow} \ker c \; \overset{d}{\longrightarrow} \operatorname{coker}a \; {\color{Gray}\longrightarrow} \operatorname{coker}b \; {\color{Gray}\longrightarrow} \operatorname{coker}c</math>
 
が存在する。さらに、射 ''f'' が{{仮リンク|[[モノ射|en|Monomorphism}}]]であれば、射 ker&nbsp;''a'' → ker&nbsp;''b'' もモノ射であり、''g''' が{{仮リンク|[[エピ射|en|Epimorphism}}]]であれば、coker&nbsp;''b'' → coker&nbsp;''c'' もエピ射である。
 
=== アーベル圏 ===
{{Main|アーベル圏}}
[[数学]]において、'''アーベル圏''' (abelian category) は、{{仮リンク|[[|en|morphism}}]]や対象を足すことができ、{{仮リンク|核 (圏論)|label=核|en|kernel (category theory)}}や{{仮リンク|[[余核|en|cokernel}}]]が存在し望ましい性質をもった[[圏]]である。動機付けるプロトタイプのアーベル圏の例は{{仮リンク|アーベル群の圏|en|category of abelian groups}} '''Ab''' である。理論の起源は [[アレクサンドル・グロタンディーク|Alexander Grothendieck]] によるいくつかの[[コホモロジー論]]を統合しようとする試験的な試みである。アーベル圏はとても''安定''(stable)である。例えば、{{仮リンク|正則圏|label=正則|en|regular category}}であり、[[蛇の補題]]を満たす。アーベル圏のクラスはいくつかの圏論的構成で閉じている。例えば、アーベル圏の[[鎖複体|チェイン複体]]の圏や、{{仮リンク|小さい圏|en|small category}}からアーベル圏への[[関手]]の圏は、再びアーベル圏である。これらの安定性によってアーベル圏はホモロジー代数学やその先で必要不可欠なものである。理論は[[代数幾何学]]、[[コホモロジー]]、そして純粋に[[圏論]]において、主要な応用をもつ。アーベル圏は [[ニールス・アーベル|Niels Henrik Abel]] にちなんで名づけられている。
 
より具体的には、圏が'''アーベル圏'''であるとは以下を満たすことである。
* [[零対象]]をもつ。
* すべて二項の{{仮リンク|[[積 (圏論)|label=|en|Product (category theory)}}]]と二項の{{仮リンク|[[余積|en|coproduct}}]]をもつ。
* すべて{{仮リンク|核 (圏論)|label=核|en|kernel (category theory)}}と{{仮リンク|[[余核|en|cokernel}}]]をもつ。
* すべての{{仮リンク|[[モノ射|en|Monomorphism}}]]{{仮リンク|[[エピ射|en|Epimorphism}}]]は{{仮リンク|正規射|en|normal morphism}}である。
 
=== Ext 関手 ===
{{Main|Ext手}}
''R'' を[[環 (数学)|環]]とし、Mod<sub>''R''</sub> を ''R'' 上の[[環上の加群|加群]]の[[圏]]とする。''B'' in Mod<sub>''R''</sub> とし、固定された ''A'' in Mod<sub>''R''</sub> に対し ''T''(''B'') = Hom<sub>''R''</sub>(''A,B'') とおく。これは{{仮リンク|[[左完全関手|en|left exact functor}}]]でありしたがって右[[導来関手]] ''R<sup>n</sup>T'' をもつ。Ext 関手は
 
:<math>\operatorname{Ext}_R^n(A,B)=(R^nT)(B)</math>
を計算することによって計算できる。すると (''R<sup>n</sup>T'')(''B'') はこの複体の[[ホモロジー (数学)|ホモロジー]]である。Hom<sub>''R''</sub>(''A,B'') は複体から除かれていることに注意せよ。
 
関手 ''G''(''A'')=Hom<sub>''R''</sub>(''A,B'') を使って別の定義が与えられる。固定された加群 ''B'' に対し、これは{{仮リンク|反変関手|label=反変|en|Covariance and contravariance of functors}}{{仮リンク|[[左完全関手|en|left exact functor}}]]であり、したがって右[[導来関手]] ''R<sup>n</sup>G'' ももっており、
 
:<math>\operatorname{Ext}_R^n(A,B)=(R^nG)(A)</math>
 
=== Tor 関手 ===
{{Main|Tor手}}
''R'' を[[環 (数学)|環]]とし、''R''-'''Mod''' によって左 ''R''-加群の[[圏]]を、'''Mod'''-''R'' によって右 ''R''-加群の圏を表記する。(''R'' が[[可換環]]であれば、2つの圏は一致する。固定された加群 ''B'' in ''R''-'''Mod''' を選ぶ。''A'' in '''Mod'''-''R'' に対し、''T''(''A'') = ''A''&otimes;<sub>''R''</sub>''B'' とおく。すると ''T'' は '''Mod'''-''R'' からto the {{仮リンク|アーベル群の圏|en|category of abelian groups}} '''Ab''' への{{仮リンク|[[右完全関手|en|right exact functor}}]]である(''R'' が可換なときには、'''Mod'''-''R'' から '''Mod'''-''R'' への右完全関手である)。そしてその左[[導来関手]] ''L<sub>n</sub>T'' が定義される。
 
: <math>\mathrm{Tor}_n^R(A,B)=(L_nT)(A)</math>
=== 導来関手 ===
{{Main|導来関手}}
2つの[[アーベル圏]] '''A''' と '''B''' の間に共変{{仮リンク|[[左完全関手|en|left exact functor}}]] ''F'' : '''A''' → '''B''' が与えられているとしよう。0 → ''A'' → ''B'' → ''C'' → 0 が '''A''' における短完全列であれば、''F'' を施すことで完全列 0 → ''F''(''A'') → ''F''(''B'') → ''F''(''C'') を得、次のことを疑問に思うだろう。この列を右に続けて長完全列にするにはどうすればいいだろうか。厳密に言えば、これは不良設定問題である。なぜならば与えられた完全列を右に続けるたくさんの異なる方法が常に存在するからである。しかし、('''A''' が十分 "nice" であれば)それを行う1つの{{仮リンク|カノニカルな|en|canonical form}}方法が存在し、それは ''F'' の右導来関手によって与えられる、ということがわかる。すべての ''i''≥1 に対して、関手 ''R<sup>i</sup>F'': '''A''' → '''B''' が存在し、上記の列は以下のように続く。0 → ''F''(''A'') → ''F''(''B'') → ''F''(''C'') → ''R''<sup>1</sup>''F''(''A'') → ''R''<sup>1</sup>''F''(''B'') → ''R''<sup>1</sup>''F''(''C'') → ''R''<sup>2</sup>''F''(''A'') → ''R''<sup>2</sup>''F''(''B'') → ... . これから ''F'' が完全関手であることと ''R''<sup>1</sup>''F'' = 0 であることが同値であることがわかる。なのである意味 ''F'' の右導来関手は ''F'' が完全であることから「どの程度離れているか」を測る。
 
== 関手性 ==
位相空間の[[連続写像]]はすべての ''n'' に対してそれらの ''n'' 次{{仮リンク|[[ホモロジー群|en|homology group}}]]の間の準同型を引き起こす。この[[代数トポロジー]]の基本的な結果はチェイン複体のある種の性質による自然な説明を見つける。いくつかの位相空間を同時に研究することは非常によくあることだから、ホモロジー代数において多数のチェイン複体を同時に考察するということになる。
 
2つのチェイン複体の間の'''射''' (morphism) <math> F: C_\bullet\to D_\bullet</math> はアーベル群の準同型 ''F''<sub>''n''</sub>:''C''<sub>''n''</sub>&nbsp;&rarr;&nbsp;''D''<sub>''n''</sub> の族であって微分と交換するようなものである。これの意味するところは、すべての ''n'' に対して、''F''<sub>''n'' -1</sub>&nbsp;&bull;&nbsp; ''d''<sub>''n''</sub><sup>''C''</sup> = ''d''<sub>''n''</sub><sup>''D''</sup>&nbsp;&bull;&nbsp;''F''<sub>''n''</sub> ということである。チェイン複体の射はそれらのホモロジー群の射 <math> H_\bullet(F)</math> を誘導する。これはすべての ''n'' に対して準同型 ''H''<sub>''n''</sub>(''F''):&nbsp;''H''<sub>''n''</sub>(''C'')&nbsp;&rarr;&nbsp;''H''<sub>''n''</sub>(''D'') からなる。射 ''F'' は、それがすべての ''n'' に対して ''n'' 次ホモロジーの同型を誘導するときに、'''[[擬同型]]''' (quasi-isomorphism) と呼ばれる。
コホモロジー論は、[[位相空間]]、[[層 (数学)|層]]、[[群 (数学)|群]]、[[環 (数学)|環]]、[[リー環]]、そして[[C*-環]]といった、多くの異なる対象に対して定義されてきた。現代的な[[代数幾何学]]の研究は[[層コホモロジー]]なしではほとんど考えられないであろう。
 
ホモロジー代数学で中心的なのは[[完全列]]の概念である。これらは実際の計算を行うのに使うことができる。ホモロジー代数学の古典的な手法は[[導来関手]]のそれである。最も基本的な例は関手 [[Ext関手|Ext]] と {{仮リンク|[[Tor関手|label=Tor|en|Tor functor}}]] である。
 
様々な応用が念頭にあり、主題全体を一定の基礎の上に置こうとすることは自然だった。主題が落ち着くまでにいくつかの試みがあった。大体の経過は以下のように述べられる。
* [[Henri Cartan|Cartan]]-[[Samuel Eilenberg|Eilenberg]]: 彼らの 1956 年の本 "Homological Algebra" において、これらの著者は[[射影分解|射影]]および[[移入分解|移入加群分解]]を用いた。
* 'Tohoku'(東北): [[Alexander Grothendieck]] による名高い論文におけるアプローチ。1957年に[[東北数学雑誌|Tohoku Mathematical Journal]](東北数学雑誌)の Second Series に現れ、(アーベル群の[[層 (数学)|層]]を含むために)[[アーベル圏]]の概念を使っている。
* [[Grothendieck]] と {{仮リンク|ジャン・ルイ・ヴェルディエール|en|Jean-Louis Verdier}} (Jean-Louis Verdier) の[[導来圏]]。導来圏は Verdier の1967年の学位論文までさかのぼる。これは多くの現代理論で使われる{{仮リンク|三角圏|en|triangulated category}} の例である。
 
これらは計算可能性から一般性へと進展する。
一段とすぐれた (''par excellence'') 計算のスレッジハンマーは{{仮リンク|スペクトル列|en|spectral sequence}}である。これは例えば2つの関手の合成の導来関手を計算するのに必要である Cartan-Eilenberg や Tohoku のアプローチにおいて必須である。スペクトル列は導来圏のアプローチでは重要性は落ちるがそれでも具体的な計算が必要なときにはいつでも役割を果たす。
 
はじめのコホモロジーを ''{{仮リンク|トルソーtorsor|en|torsor}}'' として拡張する '非可換' 理論の試みがなされている({{仮リンク|[[ガロワ・コホモロジー|en|Galois cohomology}}]]において重要である)。
 
== 関連項目 ==
* [[アブストラクト・ナンセンス]]、ホモロジー代数学と[[圏論]]に対する用語
* [[:en:Derivator|Derivator]]
* {{仮リンク|[[ホモトピー代数学|en|Homotopical algebra}}]]
* {{仮リンク|ホモロジー代数学のトピック一覧|en|List of homological algebra topics}}
 
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