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=== 環の冪等元 ===
{{main|冪等元}}
[[環 (数学)|環]]における[[冪等元]]とは、環の乗法に関して冪等であるような元のことと定義される。環の冪等元全体からなる集合の半順序を次のように定義することができる。すなわち、''e'' と ''f'' が冪等な元であるとき、''ef'' = ''fe'' = ''e'' となるときかつそのときに限って ''e'' ≤ ''f'' が成り立つと定めるのである。この順序では 0 が最小な冪等元であり、1 が最大の冪等元となる。
環 ''R'' において ''e'' が冪等であるとき、''eRe'' も ''e'' を乗法単位元とする環になる。もとの環 ''R'' が単位元 1<sub>''R''</sub> を持つ場合でも、''e'' ≠ 1<sub>''R''</sub> ならば単位元が異なるため単位的環としての部分環にはなっていない。
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