「集積点」の版間の差分

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[[数学]]における'''集積点'''(しゅうせきてん、{{lang-en-short|''accumulation point''}})あるいは'''極限点'''(きょくげんてん、{{lang-en-short|''limit point''}})は、[[位相空間]] ''X'' の[[部分集合]] ''S'' に対して定義される概念で、(''X'' の位相に関する ''x'' の任意の[[近傍 (位相空間論)|近傍]]が ''x'' 自身を除く ''S'' の点を含むという意味で)''S'' によって「近似」することができるような ''X'' の点 ''x'' を ''S'' の集積点と呼ぶ。このとき、集積点 ''x'' は必ずしも ''S'' の点でなくともよいということには留意すべきである。集積点の概念は極限の概念を適切に一般化するものであり、[[閉集合]]や[[閉包 (位相空間論)|閉包]]といった概念を下支えするものになっている。実際、集合が閉であることとそれが自身の集積点をすべて含むこととは同値であり、また集合に対する閉包作用はもとの集合にその集積点を付け加えることによる拡大操作として捉えることができる。
 
任意の有限区間または有界区間はそれが無限個の点を含むならば少なくとも一つの集積点を含まなければならないが、さらに有界区間が無限個の点とただ一つの集積点を含むならば、区間内の任意の無限列がその唯一の集積点に収する。
 
== 定義 ==
この条件は[[T1空間| ''T''<sub>1</sub>-空間]]においては、''x'' の任意の[[近傍 (位相空間論)|近傍]]が ''S'' の点を無限に含むという条件に同値である(この条件は、もとの定義が「開近傍」を用いて集積点の判定を行うところを、開に限らない「一般の近傍」を使って行うことができるので、しばしば有用である)。
 
あるいは空間 ''X'' が{{仮リンク|列収空間|en|sequential space}}の場合には、''x'' &isin; ''X'' が ''S'' の集積点であるための必要十分条件は、''x'' を極限に持つような ''S'' &#x2216; {''x''} の可算列が存在することである。それゆえ ''x'' は'''極限点'''と呼ばれる。
 
== 極限点の種類 ==
* ''x'' を含む任意の開集合 ''U'' について |''U'' &cap; ''S''| = |''S''| が満たされるとき、集積点 ''x'' を特に ''S'' の'''完全集積点''' {{lang|en|(''complete accumulation point'')}} という。
 
''X'' の点 ''x'' が[[点列]] (''x''<sub>''n''</sub>)<sub>''n''∈'''N'''</sub> の'''密集点''' {{lang|en|(''cluster point'')}} であるとは、''x'' の任意の近傍 ''V'' に対し ''x''<sub>''n''</sub> ∈ ''V'' なる自然数が無限に存在するときにいう。空間が列収ならば、これは点列 (''x''<sub>''n''</sub>)<sub>''n''∈'''N'''</sub> の部分列で ''x'' を極限とするものがあることと同値である。
 
[[有向点族|ネット]]の概念は[[点列]]の概念を一般化したもので、ネットに関する密集点の概念は凝集点と &omega;-集積点の概念をともに一般化するものになっている。集積および集積点の概念は同じように[[フィルター (数学)|フィルター]]に対しても定義することができる。