「写像の反復」の版間の差分

{{仮リンク|不動点反復|en|fixed point iteration}}から得られる{{仮リンク|級数加速法|en|convergence acceleration}}もいくつも存在する。例えば、[[エイトケン法]]を反復不動点に対して適用したものは{{仮リンク|ステファンセン法|en|Steffensen's method}}と呼ばれ、二次の収斂束を与える。

反復の過程において、その軌跡の集合が小さくなり一点に収斂束することが起こり得る。このような場合、収斂束先の点は{{仮リンク|吸引的不動点|en|Attractive fixed point}}として知られる。逆に、反復の軌跡が一点から遠くへ発散していくようなこともあり、この場合は{{仮リンク|不安定不動点|en|unstable fixed point}}と言う<ref>Istratescu, Vasile (1981). ''Fixed Point Theory, An Introduction'', D. Reidel, Holland. ISBN 90-277-1224-7.</ref>。軌道上の点が一つまたはそれ以上の極限に収斂束するとき、その軌道の[[集積点]]全体の成す集合は、'''[[極限集合]]'''あるいは '''ω-極限集合'''と呼ばれる。

== {{anchors|共軛}}共役 ==

二つの反復合成写像 {{math|''f''}}, {{math|''g''}} に対して {{math| ''g'' {{=}} ''h''⁻¹ ∘ ''f'' ∘ ''h'' }} を満たす[[同相写像]] {{math|''h''}} が存在するとき、{{math|''f''}} と {{math|''g''}} とは{{仮リンク|位相的に共軛役|en|topologically conjugate}}であるという。

明らかに位相的共軛役は {{math|''g''^''n''{{=}}''h''⁻¹ ∘ ''f'' ⁿ ∘ ''h''}} が成り立つという意味で反復を保つ。故に一方の反復函数系が分かれば、それと位相的共軛役な系もわかる。例えば[[テント写像]]は[[ロジスティック写像]]と位相的に共軛役である。特別な場合として、{{math|''f''(''x'') {{=}} ''x''+1}} を取り、{{math|''g''(''x'') {{=}} ''h''^&minus;1(''h''(''x'')+1)}} の反復を考えれば、任意の {{math|''h''}} に対して {{math|''g''^''n''(''x'') {{=}} ''h''^&minus;1(''h''(''x'') + ''n'')}} が成り立つ。

厳密な同相写像でなくとも、不動点の近くでは（今の場合は ''x'' = 0 で ''f''(0) = 0 として）写像 {{math|Ψ}} に対する[[シュレーダーの方程式]]を解けば<ref>Kimura, Tosihusa (1971). "On the Iteration of Analytic Functions", [http://www.math.sci.kobe-u.ac.jp/~fe/ ''Funkcialaj Ekvacioj''] '''14''', 197-238.</ref> {{math|''f''(''x'')}} は局所的にわずかの拡大縮小 {{math|''g''(''x'') {{=}} ''f&prime;''(0)''x''}} と共軛役、すなわち {{math|''f''(''x'') {{=}} Ψ⁻¹(''f&prime;''(0)Ψ(''x''))}} となる。

の軌道に共軛役となる。ここで式中の {{math|''n''}} は通常の冪乗であり、写像の反復がただの乗法に帰着されたことになる。ただしここでの冪指数 {{math|''n''}} は整数でも正でもある必要は無く、連続な「時間」の変数としてその全軌道を追うことができる<ref>{{cite journal |last=Curtright |first=T.L. |authorlink=Thomas Curtright|coauthors=[[Cosmas Zachos|Zachos, C.K.]]| year=2009|title=Evolution Profiles and Functional Equations |journal=Journal of Physics A |volume=42|issue=48 |pages=485208|doi=10.1088/1751-8113/42/48/485208}}</ref>。ピカール列全体の成す[[モノイド]]（{{仮リンク|全変換半群|en|transformation semigroup}}を参照）は全く{{仮リンク|連続群|en|continuous group}}に一般化される<!-- <ref>For explicit instance, example 2 above amounts to just {{math|''f'' ⁿ(''x'') {{=}} ''Ψ''⁻¹((ln2)ⁿ ''Ψ''(''x''))}}, for ''any n'', not necessarily integer, where {{mvar|''Ψ''}} is the solution of the relevant [[Schröder's equation]], {{math|''Ψ''({{sqrt|2}}^''x''){{=}} ln2 ''Ψ''(''x'')}}. This solution is also the infinite ''m'' limit of {{math|(''f'' ^m(''x'') −2)/(ln2)^m}}.</ref> -->。

* {{仮リンク|[[無理回転|en|Irrational rotation}}]]