「写像の反復」の版間の差分
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反復合成を項とする[[列 (数学)|函数列]] {{math|(''f''<sup>''n''</sup>)}} は[[エミール・ピカール]]に因んで'''ピカール列''' (''Picard sequence'')<ref>{{cite book |title=Functional equations in a single variable |last=Kuczma |first=Marek| authorlink=Marek Kuczma|series=Monografie Matematyczne |year=1968 |publisher=PWN – Polish Scientific Publishers |location=Warszawa}}</ref><ref>{{cite book|title=Iterative Functional Equations| last=Kuczma| first=M., Choczewski B., and Ger, R. |year=1990|publisher=Cambridge University Press|ISBN= 0-521-35561-3}}</ref>と呼ばれ、集合 {{math|''X''}} の元 {{math|''x''}} に対する値の[[数列|列]] {{math|(''f''<sup>''n''</sup>(''x''))}} は {{math|''x''}} の'''{{仮リンク|軌道 (力学系)|en|orbit (dynamics)|label=軌道}}と呼ばれる。
適当な正整数 {{math|''m''}} が任意の {{math|''n''}} に対して {{math|''f''<sup>''n''</sup>(''x'') {{=}} ''f''<sup>''n''+''m''</sup>(''x'')}} を満たすとき、軌道は'''周期軌道''' (''periodic orbit'') であるといい、そのような {{math|''m''}} のうち最小のものを、{{math|''x''}} の（基本）'''周期''' (''period of the orbit'') と言う。またそのような {{math|''m''}} の取れる点 {{math|''x''}} は
== 不動点 ==
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== 極限の挙動 ==
反復の過程において、その軌跡の集合が小さくなり一点に収束することが起こり得る。このような場合、収束先の点は{{仮リンク|吸引的不動点|en|Attractive fixed point}}として知られる。逆に、反復の軌跡が一点から遠くへ発散していくようなこともあり、この場合は{{仮リンク|不安定不動点|en|unstable fixed point<!-- リダイレクト先の「[[:en:Fixed point (mathematics)]]」は、[[:ja:不動点]] とリンク -->|FIXME=1}}と言う<ref>Istratescu, Vasile (1981). ''Fixed Point Theory, An Introduction'', D. Reidel, Holland. ISBN 90-277-1224-7.</ref>。軌道上の点が一つまたはそれ以上の極限に収束するとき、その軌道の[[集積点]]全体の成す集合は、'''[[極限集合]]'''あるいは '''ω-極限集合'''と呼ばれる。
吸引 (attraction) と反発 (repulsion) の概念は同じように一般化される。例えば反復を小さな[[近傍]]の挙動に従って[[安定集合]]と{{仮リンク|不安定集合|en|unstable set<!-- リダイレクト先の「[[:en:Stable manifold]]」は、[[:ja:安定多様体]] とリンク -->|FIXME=1}}に分類することができる。
極限の挙動は他にもあり得る。例えば{{仮リンク|遊走点|en|wandering point}}は初期点から遠ざかり、初期点の近くには二度と戻ってこないものをいう。
== 分数回反復・フロー・負回反復 ==
適当な状況下においては、分数回反復 (fractional iteration) を定義することができる。例えば函数 {{math|''f''}} の{{仮リンク|写像の平方根|label=半回反復|en|functional square root<!-- [[:ja:函数的平方根]] とリンク -->|FIXME=1}}は {{math|''g''(''g''(''x'')) {{=}} ''f''(''x'')}} なる写像 {{math|''g''}} のことであり、これを指数記法で {{math|''f''<sup>½</sup>(''x'')}} と書く。同様に {{math|''f''<sup>⅓</sup>(''x'')}} は {{math|''f''<sup>⅓</sup>(''f''<sup>⅓</sup>(''f''<sup>⅓</sup>(''x''))) {{=}} ''f''(''x'')}} で定義される写像であり、{{math|''f''<sup>⅔</sup>(''x'')}} は {{math|''f''<sup>⅓</sup>(''f''<sup>⅓</sup>(''x''))}} で、以下も同様にして既に述べた等式 {{math|''f''<sup>''m''</sup> ∘ ''f''<sup>''n''</sup> {{=}} ''f''<sup>''m''+''n''</sup>}} を原理として定義する。この考え方で反復回数 {{math|''n''}} を連続的なパラメータへ一般化して、連続的な時間に沿った連続的な軌道なども考えることができる。こういった場合に関しては、この系は{{仮リンク|シュレーダー方程式|en|Schröder's equation<!-- [[:ja:シュレーダーの方程式]] とリンク -->|FIXME=1}}によって特定される
負回の反復合成 (negative iterate) は逆写像とその反復合成が対応する。例えば {{math|''f''<sup>−1</sup>(''x'')}} は通常の逆写像で {{math|''f''<sup>−2</sup>(''x'')}} はその自己合成 {{math|''f''<sup>−2</sup>(''x'') {{=}} ''f''<sup>−1</sup>(''f''<sup>−1</sup>(''x''))}} である。正の場合と同様に負の分数階合成も同様に定義され、例えば {{math|''f''<sup>−½</sup>(''x'')}} は {{math|''f''<sup>−½</sup>(''f''<sup>−½</sup>(''x'')) {{=}} ''f''<sup>−1</sup>(''x'')}} あるいは同じことだが {{math|''f''<sup>−½</sup>(''f''<sup>½</sup>(''x'')) {{=}} ''f''<sup>0</sup>(''x'') {{=}} ''x''}} なるものとして与えられる。
== {{anchors|共軛}}共役 ==
二つの反復合成写像 {{math|''f''}}, {{math|''g''}} に対して {{math| ''g'' {{=}} ''h''<sup>−1</sup> ∘ ''f'' ∘ ''h'' }} を満たす[[同相写像]] {{math|''h''}} が存在するとき、{{math|''f''}} と {{math|''g''}} とは{{仮リンク|位相的に共役|en|topologically conjugate<!-- リダイレクト先の「[[:en:Topological conjugacy]]」は、[[:ja:位相共役性]] とリンク -->|FIXME=1}}であるという。
明らかに位相的共役は {{math|''g''<sup>''n''</sup>{{=}}''h''<sup>−1</sup> ∘ ''f'' <sup>n</sup> ∘ ''h''}} が成り立つという意味で反復を保つ。故に一方の反復函数系が分かれば、それと位相的共役な系もわかる。例えば[[テント写像]]は[[ロジスティック写像]]と位相的に共役である。特別な場合として、{{math|''f''(''x'') {{=}} ''x''+1}} を取り、{{math|''g''(''x'') {{=}} ''h''<sup>−1</sup>(''h''(''x'')+1)}} の反復を考えれば、任意の {{math|''h''}} に対して {{math|''g''<sup>''n''</sup>(''x'') {{=}} ''h''<sup>−1</sup>(''h''(''x'') + ''n'')}} が成り立つ。
{{math|''x'' {{=}} ''h''<sup>−1</sup>(''y'') {{=}} ''ϕ''(''y'')}} と置けば {{math|''g''(''ϕ''(''y'')) {{=}} ''ϕ''(''y''+1)}} となりこれは
厳密な同相写像でなくとも、不動点の近くでは（今の場合は ''x'' = 0 で ''f''(0) = 0 として）写像 {{math|Ψ}} に対する[[シュレーダーの方程式]]を解けば<ref>Kimura, Tosihusa (1971). "On the Iteration of Analytic Functions", [http://www.math.sci.kobe-u.ac.jp/~fe/ ''Funkcialaj Ekvacioj''] '''14''', 197-238.</ref> {{math|''f''(''x'')}} は局所的にわずかの拡大縮小 {{math|''g''(''x'') {{=}} ''f′''(0)''x''}} と共役、すなわち {{math|''f''(''x'') {{=}} Ψ<sup>−1</sup>(''f′''(0)Ψ(''x''))}} となる。
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従って、その反復軌道あるいはフローは、適当な条件（例えば {{math|''f'' '(0) ≠ 1}}）の下で、結局は単項式
:{{math|''Ψ''<sup>−1</sup>(''f′''(0)<sup>''n''</sup> ''Ψ''(''x''))}}
の軌道に共役となる。ここで式中の {{math|''n''}} は通常の冪乗であり、写像の反復がただの乗法に帰着されたことになる。ただしここでの冪指数 {{math|''n''}} は整数でも正でもある必要は無く、連続な「時間」の変数としてその全軌道を追うことができる<ref>{{cite journal |last=Curtright |first=T.L. |authorlink=Thomas Curtright|coauthors=[[Cosmas Zachos|Zachos, C.K.]]| year=2009|title=Evolution Profiles and Functional Equations |journal=Journal of Physics A |volume=42|issue=48 |pages=485208|doi=10.1088/1751-8113/42/48/485208}}</ref>。ピカール列全体の成す[[モノイド]]（{{仮リンク|全変換半群|en|transformation semigroup}}を参照）は全く{{仮リンク|連続群|en|continuous group<!-- リダイレクト先の「[[:en:Topological group]]」は、[[:ja:位相群]] とリンク -->|FIXME=1}}に一般化される<!-- <ref>For explicit instance, example 2 above amounts to just {{math|''f'' <sup>n</sup>(''x'') {{=}} ''Ψ''<sup>−1</sup>((ln2)<sup>n</sup> ''Ψ''(''x''))}}, for ''any n'', not necessarily integer, where {{mvar|''Ψ''}} is the solution of the relevant [[Schröder's equation]], {{math|''Ψ''({{sqrt|2}}<sup>''x''</sup>){{=}} ln2 ''Ψ''(''x'')}}. This solution is also the infinite ''m'' limit of {{math|(''f'' <sup>m</sup>(''x'') −2)/(ln2)<sup>m</sup>}}.</ref> -->。
[[File: SineIterates.jpg |center|thumb|500px ]]
<!-- This method (perturbative determination of the principal [[eigenfunction]] {{mvar|Ψ}}, cf. [[Carleman matrix]]) is equivalent to the algorithm of the preceding section, albeit, in practice, more powerful and systematic. -->
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* [[反復関数系]]
* [[反復法 (数値計算)]]
* {{仮リンク|回転数 (数学)<!-- [[:en:Winding number]] とリンク -->|en|Rotation number|FIXME=1}}
* {{仮リンク|サルコフスキーの定理|en|Sarkovskii's theorem<!-- リダイレクト先の「[[:en:Sharkovskii's theorem]]」は、[[:ja:シャルコフスキーの定理]] とリンク -->|FIXME=1}}
{{Col-2-of-2}}
* [[漸化式]]
* {{仮リンク|シュレーダー方程式|en|Schröder's equation<!-- [[:ja:シュレーダーの方程式]] とリンク -->|FIXME=1}}
* {{仮リンク|写像の平方根|en|Functional square root<!-- [[:ja:函数的平方根]] とリンク -->|FIXME=1}}
* {{仮リンク|スーパー函数|en|Superfunction}}
* {{仮リンク|解析函数の無限合成|en|Infinite compositions of analytic functions}}
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