「対角化」の版間の差分

最小多項式による特徴づけ・例・参考文献の追加
(最小多項式による特徴づけ・例・参考文献の追加)
 
== 概要 ==
''n'' 次正方行列 ''A'' に対して、 ''n'' 次対角行列 ''D'' と正則な ''n'' 次[[行列]] ''UP'' が存在して、
: <math> UP^{-1} A UP = D </math>
とできるとき、行列 ''A'' は'''対角化可能'''であるという。このとき、<math> AUAP = UDPD </math> であるから、 ''D'' の対角成分には ''A'' の固有値がならび、その他の非対角成分はすべて 0 となる。
 
''A'' の固有値を重複を許さず、<math>\lambda_{i}, i=1,\cdots,r, </math> とするとき、''A'' が対角化可能であるための必要十分条件は、
: <math> \sum_{i=1}^{r}\dim\ker(\lambda_{i}I_{n} - A) = n, </math>
かつ、各項が各固有値の重複度と等しいことである。ここで、<math>I_{n}</math> は ''n'' 次単位行列を表す。<math>\ker(\lambda_{i}I_{n}-A)</math> は固有値 <math>\lambda_{i}</math> の固有空間であるから、この条件はベクトル空間の基底として ''A'' の固有ベクトルが取れることを意味している。
また行列 ''A'' が対角化可能であるための他の必要十分条件には、その[[最小多項式]]が重根をもたないことがある{{sfn|斎藤|1996|loc=系3.4}}。
 
''A'' が実[[対称行列]]のとき、''A'' は常に対角化可能であり、''UP'' として[[直交行列]]を取ることができる。また ''A'' が[[ユニタリー行列]] ''U'' を用いて対角化できるためには、 ''A'' が[[正規行列]]であることが[[同値|必要十分]]である。正規行列の中で応用上重要なクラスとして、対称行列と[[エルミート行列]]がある。
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(数値的対角化手法)
-->
 
== 例 ==
次の 2 次実正方行列 ''A'' は固有値 ''a'' &minus; ''bi'' と ''a'' + ''bi'' をもち、たとえば以下の正則行列 ''P'' で対角化される。
: <math> A =
\begin{bmatrix}
a & -b \\
b & a
\end{bmatrix},
\quad
P =
\begin{bmatrix}
i & 1 \\
-i & 1
\end{bmatrix},
\quad
P^{-1}AP =
\begin{bmatrix}
a - bi & \\
& a + bi
\end{bmatrix}.
</math>
一方、次の行列 ''B'' は対角化可能ではない。
:<math>
B =
\begin{bmatrix}
\lambda & 1 \\
& \lambda
\end{bmatrix}
</math>
 
== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}
== 参考文献 == <!-- {{Cite book}} --> <!-- {{Cite journal}} -->
* {{cite book
|和書
|last1 = 斎藤
|first1 = 正彦
|year = 1966
|title = 線型代数入門
|url = http://www.utp.or.jp/bd/4-13-062001-0.html
|edition = 初版
|publisher = 東京大学出版会
|isbn = 978-4-13-062001-7
|ref = harv
}}
* {{Cite book|和書|author=佐武 一郎|year=1974|title=線型代数学|publisher=裳華房}}
* {{cite book | 和書 | title=ヒルベルト空間と量子力学 | author=新井 朝雄| year=1997 | series=共立講座21世紀の数学 | publisher=共立出版 }}
* [[固有値]]
* [[ジョルダン標準形]]
 
== 外部リンク == <!-- {{Cite web}} -->
{{節stub}}
 
{{Math-stub}}