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1行目: [[Image:Euler's formula.svg\|thumb\|right\|オイラーの公式の図形的な表現。グラフは横軸が実数軸、縦軸が虚数軸の複素平面であり、{{mvar\|φ}} は複素数 {{math\|''e<sup>''iφ''</sup>}} の偏角である。]] [[数学]]、特に[[複素解析]]における'''オイラーの公式'''（オイラーのこうしき、{{lang-en-short\|Euler's formula}}）は、[[指数関数]]と[[三角関数]]の間に成り立つ以下の関係をいう。 :<math>e^{i\theta} =\cos\theta +i\sin\theta.</math> ここで {{math\|''e''<sup>'''·'''</sup>}} は指数関数、{{mvar\|i}} は[[虚数単位]]、{{math\|cos( '''·'''), sin( '''·''')}} はそれぞれ余弦関数および正弦関数である<ref group="注">指数関数 {{math\|''e''<sup>'''·'''</sup>}} は[[冪乗\|累乗]]を拡張したもので、複素数 {{math\|''x'', ''y''}} について {{math\|''e''<sup>''x''</sup> × e<sup>''y''</sup> {{=}} e<sup>''x''+''y''</sup>}} という関係が成り立つ。{{math\|''e'' {{=}} ''e''<sup>1</sup> {{=}} 2.718281828...}} は'''自然対数の底'''あるいは'''[[ネイピア数]]'''と呼ばれる。<br />虚数単位 {{mvar\|i}} は {{math\|''i''<sup>2</sup> {{=}} ''i'' × ''i'' {{=}} −1}} を満たす複素数である。<br />余弦関数 {{math\|cos '''·'''}} および正弦関数 {{math\|sin '''·'''}} は三角関数の一種である。正弦関数 {{math\|sin ''θ''}} は、[[直角三角形]]の[[斜辺]]とその三角形の変数 {{mvar\|θ}} に対応する角度を持つ[[鋭角]]の[[対辺]]（正弦）の長さの比を表す。余弦関数 {{math\|cos ''θ''}} はもう一方の鋭角（余角）の対辺と斜辺の長さの比を表す。単位円（半径の長さを 1 とする円）の中心を原点とする直交座標系をとったとき、単位円上の点を表す {{math\|''x'', ''y''}} 座標はそれぞれ {{math\|cos ''θ'', sin ''θ''}} に等しい（{{mvar\|θ}} は円の中心と円周上の点を結ぶ直線と、{{mvar\|x}} 軸のなす角の大きさに対応する）。<br />文献によっては、指数関数は、{{en\|<u>exp</u>onent}}（指数）から3字取って {{math\|exp ''x'' ({{=}} ''e''<sup>''x''</sup>)}} と表される。また虚数単位には {{mvar\|i}} でなく {{mvar\|j}} を用いることがある。</ref>。{{mvar\|θ}} が[[実数]]なら、{{mvar\|θ}} は[[複素数]] {{math\|''e''<sup>''iθ''</sup>}} がなす[[複素平面]]上の[[複素数#極形式\|偏角]]に対応する。公式の名前は18世紀の数学者[[レオンハルト・オイラー]] ([[:en:Leonhard Euler\|Leonhard Euler]]) に因むが、最初の発見者は[[ロジャー・コーツ]] ([[:en:Roger Cotes\|Roger Cotes]]) とされる。コーツは[[1714年]]に 16行目: オイラーの公式は、[[変数 (数学)\|変数]] {{mvar\|θ}} が実数である場合には、右辺は実空間上で定義される通常の三角関数で表され、[[虚数]]の指数関数の実部と虚部がそれぞれ角度 {{mvar\|θ}} に対応する余弦関数 {{math\|cos}} と正弦関数 {{math\|sin}} に等しいことを表す。このとき、偏角 {{mvar\|θ}} を[[媒介変数\|パラメータ]]とする[[曲線]] {{math\|''e''<sup>''iθ''</sup>}} は、複素平面上の[[単位円]]をなす。特に、{{math\|''θ'' {{=}} ~~π~~{{π}}}} のとき（すなわち偏角が 180 度のとき）、 :<math>e^{i\pi}=-1</math> となる。この関係は'''[[オイラーの等式]]''' {{en\|(Euler's identity)}} と呼ばれる<ref group="注">三角関数の周期性（従って複素指数関数の周期性）により、オイラーの等式が成り立つのは {{math\|''θ'' {{=}} ~~π~~{{π}}}} に限らない。すなわち、任意の整数 {{mvar\|z}} について {{math\|''θ'' {{=}} ~~π~~{{π}} + 2~~π~~{{π}}''z'' {{=}} 2~~π~~{{π}}(''z'' + {{sfrac\|1\|2}})}} は {{math\|''e''<sup>''iθ''</sup> {{=}} −1}} を満たす。</ref>。 {{mvar\|θ}} が純虚数である場合には、左辺は実空間上で定義される通常の指数関数であり、右辺は純虚数に対する三角関数となる。 25行目: == 指数関数と三角関数 == 実関数として定義される[[指数関数]] {{math\|''e''<sup>''x''</sup>}} および[[三角関数]] {{math\|cos  ''x''}}, {{math\|sin ''x''}} を各々 {{math\|''x'' {{=}} 0}} の周りの[[テイラー展開]]<ref group="注">このような原点を中心とするテイラー展開はしばしば'''マクローリン展開''' {{en\|(Maclaurin expansion)}} と呼ばれる。また一般に関数を[[冪級数]]として表すことを冪級数展開と呼ぶ。</ref>を行えば {{numBlk\|:\|<math>e^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}\quad\mbox{ for all }x</math>\|{{equationRef\|Macl1\|1}}}} {{numBlk\|:\|<math>\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} \, x^{2n}\quad\mbox{ for all } x</math>\|{{equationRef\|Macl2\|2}}}} {{numBlk\|:\|<math>\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \, x^{2n+1}\quad\mbox{ for all } x</math>\|{{equationRef\|Macl3\|3}}}} となる。これらの級数の[[収束半径]]が {{math\|∞}} であることは[[ダランベールの収束判定法]]によって確認することができる<ref group="注">級数 :<math>\scriptstyle \sum_{n=0}^\infty a_n x^n</math> 216行目: \cos n\theta+i\sin n\theta &=(\cos \theta+i\sin \theta)^n,\\ ~~\end{align}</math>~~ ~~:<math>\begin{align}~~ \cos n\theta-i\sin n\theta &=(\cos \theta-i\sin \theta)^n. 231 ⟶ 229行目: を得る。これが {{math\|cos ''θ''}} の [[三角関数の公式の一覧#倍角公式\|{{mvar\|n}} 倍角の公式]]の閉じた表示式である（{{math\|[''s'']}} は {{mvar\|s}} の[[整数部分]]）。この式において {{math\|''nθ'' {{=}} ''x''}} と置き換えると :<math>\cos x = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k\binom{n}{2k} ~~:<math>\begin{align}~~ ~~&=\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k\binom{n}{2k}~~\left (\cos \frac{x}{n}\right)^{n} \left (\tan \frac{x}{n}\right)^{2k}.\\</math>▼ ~~\cos x~~ ▲&=\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k\binom{n}{2k}\left (\cos \frac{x}{n}\right)^{n} \left (\tan \frac{x}{n}\right)^{2k}.\\ ~~\end{align}</math>~~ [[加法\|和]]の上端を {{math\|∞}} に書き直したが、{{math\|''k'' > ''n''/2}} のとき[[二項定理#概要\|二項係数]]の部分が {{math\|0}} になるので、これは {{math\|{{sfrac\|''n''\|2}}}} までの和に等しい。 {{math\|''n'' → ∞}} の[[極限]]においては 258 ⟶ 254行目: \left(\cos \frac{x}{n}\right)^n &= (1+a_{n})^n\\ &= 1+na_{n}+\binom{n}{2}a_{n}^2+ \~~cdot\cdot\cdot~~dotsb \end{align}</math> であるから、{{mvar\|a<sub>n</sub>}} が小さいとき、{{mvar\|n}} 乗すると誤差はおよそ {{mvar\|n}} 倍されるが、{{mvar\|a<sub>n</sub>}} が {{math\|{{sfrac\|1\|n}}}} よりも早く {{math\|0}} に近づくときには、極限に影響しない。

「オイラーの公式」の版間の差分