「オイラーの公式」の版間の差分

m
編集の要約なし
m
[[Image:Euler's formula.svg|thumb|right|オイラーの公式の図形的な表現。グラフは横軸が実数軸、縦軸が虚数軸の複素平面であり、{{mvar|&phi;}} は複素数 {{math|''e<sup>''i&phi;''</sup>}} の偏角である。]]
[[数学]]、特に[[複素解析]]における'''オイラーの公式'''(オイラーのこうしき、{{lang-en-short|Euler's formula}})は、[[指数関数]]と[[三角関数]]の間に成り立つ以下の関係をいう。
:<math>e^{i\theta} =\cos\theta +i\sin\theta.</math>
ここで {{math|''e''<sup>'''&middot;'''</sup>}} は指数関数、{{mvar|i}} は[[虚数単位]]、{{math|cos( '''&middot;'''), sin( '''&middot;''')}} はそれぞれ余弦関数および正弦関数である<ref group="注">指数関数 {{math|''e''<sup>'''&middot;'''</sup>}} は[[冪乗|累乗]]を拡張したもので、複素数 {{math|''x'', ''y''}} について {{math|''e''<sup>''x''</sup>&thinsp;&times;&thinsp;e<sup>''y''</sup> {{=}} e<sup>''x''+''y''</sup>}} という関係が成り立つ。{{math|''e'' {{=}} ''e''<sup>1</sup> {{=}} 2.718281828...}} は'''自然対数の底'''あるいは'''[[ネイピア数]]'''と呼ばれる。<br />虚数単位 {{mvar|i}} は {{math|''i''<sup>2</sup> {{=}} ''i''&thinsp;&times;&thinsp;''i'' {{=}} &minus;1}} を満たす複素数である。<br />余弦関数 {{math|cos&thinsp;'''&middot;'''}} および正弦関数 {{math|sin&thinsp;'''&middot;'''}} は三角関数の一種である。正弦関数 {{math|sin&thinsp;''&theta;''}} は、[[直角三角形]]の[[斜辺]]とその三角形の変数 {{mvar|&theta;}} に対応する角度を持つ[[鋭角]]の[[対辺]](正弦)の長さの比を表す。余弦関数 {{math|cos&thinsp;''&theta;''}} はもう一方の鋭角(余角)の対辺と斜辺の長さの比を表す。単位円(半径の長さを 1 とする円)の中心を原点とする直交座標系をとったとき、単位円上の点を表す {{math|''x'', ''y''}} 座標はそれぞれ {{math|cos&thinsp;''&theta;'', sin&thinsp;''&theta;''}} に等しい({{mvar|&theta;}} は円の中心と円周上の点を結ぶ直線と、{{mvar|x}} 軸のなす角の大きさに対応する)。<br />文献によっては、指数関数は、{{en|<u>exp</u>onent}}(指数)から3字取って {{math|exp&thinsp;''x'' ({{=}} ''e''<sup>''x''</sup>)}} と表される。また虚数単位には {{mvar|i}} でなく {{mvar|j}} を用いることがある。</ref>。{{mvar|&theta;}} が[[実数]]なら、{{mvar|&theta;}} は[[複素数]] {{math|''e''<sup>''i&theta;''</sup>}} がなす[[複素平面]]上の[[複素数#極形式|偏角]]に対応する。
 
公式の名前は18世紀の数学者[[レオンハルト・オイラー]] ([[:en:Leonhard Euler|Leonhard Euler]]) に因むが、最初の発見者は[[ロジャー・コーツ]] ([[:en:Roger Cotes|Roger Cotes]]) とされる。コーツは[[1714年]]に
 
オイラーの公式は、[[変数 (数学)|変数]] {{mvar|&theta;}} が実数である場合には、右辺は実空間上で定義される通常の三角関数で表され、[[虚数]]の指数関数の実部と虚部がそれぞれ角度 {{mvar|&theta;}} に対応する余弦関数 {{math|cos}} と正弦関数 {{math|sin}} に等しいことを表す。このとき、偏角 {{mvar|&theta;}} を[[媒介変数|パラメータ]]とする[[曲線]] {{math|''e''<sup>''i&theta;''</sup>}} は、複素平面上の[[単位円]]をなす。
特に、{{math|''&theta;'' {{=}} &pi;{{π}}}} のとき(すなわち偏角が 180 度のとき)、
:<math>e^{i\pi}=-1</math>
となる。この関係は'''[[オイラーの等式]]''' {{en|(Euler's identity)}} と呼ばれる<ref group="注">三角関数の周期性(従って複素指数関数の周期性)により、オイラーの等式が成り立つのは {{math|''&theta;'' {{=}} &pi;{{π}}}} に限らない。すなわち、任意の整数 {{mvar|z}} について {{math|''&theta;'' {{=}} &pi;{{π}} + 2&pi;{{π}}''z'' {{=}} 2&pi;{{π}}(''z'' + {{sfrac|1|2}})}} は {{math|''e''<sup>''i&theta;''</sup> {{=}} &minus;1}} を満たす。</ref>。
 
{{mvar|&theta;}} が純虚数である場合には、左辺は実空間上で定義される通常の指数関数であり、右辺は純虚数に対する三角関数となる。
 
== 指数関数と三角関数 ==
実関数として定義される[[指数関数]] {{math|''e''<sup>''x''</sup>}} および[[三角関数]] {{math|cos &thinsp;''x''}}, {{math|sin&thinsp;''x''}} を各々 {{math|''x'' {{=}} 0}} の周りの[[テイラー展開]]<ref group="注">このような原点を中心とするテイラー展開はしばしば'''マクローリン展開''' {{en|(Maclaurin expansion)}} と呼ばれる。また一般に関数を[[冪級数]]として表すことを冪級数展開と呼ぶ。</ref>を行えば
{{numBlk|:|<math>e^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}\quad\mbox{ for all }x</math>|{{equationRef|Macl1|1}}}}
{{numBlk|:|<math>\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} \, x^{2n}\quad\mbox{ for all } x</math>|{{equationRef|Macl2|2}}}}
{{numBlk|:|<math>\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \, x^{2n+1}\quad\mbox{ for all } x</math>|{{equationRef|Macl3|3}}}}
となる。これらの級数の[[収束半径]]が {{math|∞}} であることは[[ダランベールの収束判定法]]によって確認することができる<ref group="注">級数
:<math>\scriptstyle \sum_{n=0}^\infty a_n x^n</math>
\cos n\theta+i\sin n\theta
&=(\cos \theta+i\sin \theta)^n,\\
\end{align}</math>
:<math>\begin{align}
\cos n\theta-i\sin n\theta
&=(\cos \theta-i\sin \theta)^n.
を得る。これが {{math|cos&thinsp;''θ''}} の [[三角関数の公式の一覧#倍角公式|{{mvar|n}} 倍角の公式]]の閉じた表示式である({{math|[''s'']}} は {{mvar|s}} の[[整数部分]])。
この式において {{math|''nθ'' {{=}} ''x''}} と置き換えると
:<math>\cos x = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k\binom{n}{2k}
:<math>\begin{align}
&=\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k\binom{n}{2k}\left (\cos \frac{x}{n}\right)^{n} \left (\tan \frac{x}{n}\right)^{2k}.\\</math>
\cos x
&=\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k\binom{n}{2k}\left (\cos \frac{x}{n}\right)^{n} \left (\tan \frac{x}{n}\right)^{2k}.\\
\end{align}</math>
[[加法|和]]の上端を {{math|&infin;}} に書き直したが、{{math|''k'' &gt; ''n''/2}} のとき[[二項定理#概要|二項係数]]の部分が {{math|0}} になるので、これは {{math|{{sfrac|''n''|2}}}} までの和に等しい。
{{math|''n'' → &infin;}} の[[極限]]においては
\left(\cos \frac{x}{n}\right)^n
&= (1+a_{n})^n\\
&= 1+na_{n}+\binom{n}{2}a_{n}^2+ \cdot\cdot\cdotdotsb
\end{align}</math>
であるから、{{mvar|a<sub>n</sub>}} が小さいとき、{{mvar|n}} 乗すると誤差はおよそ {{mvar|n}} 倍されるが、{{mvar|a<sub>n</sub>}} が {{math|{{sfrac|1|n}}}} よりも早く {{math|0}} に近づくときには、極限に影響しない。
17,390

回編集