「射 (圏論)」の版間の差分
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[[圏論]]における'''射'''はこのような概念を広く推し進め、しかしより抽象的に扱うものである。考える数学的対象は集合である必要はないし、それらの間の関係性である射は写像よりももっと一般の何ものかでありうる。
射の、そして射がその上で定義される構造（[[対象 (圏論)|対象]]）を調べることは圏論の中核を成す。射に関する用語法の多くは、その直観的背景でもある{{仮リンク|具体圏|en|concrete category}}（対象が単に付加構造を備えた集合で、射がその構造を保つ写像であるような圏）に由来するものとなっている。また圏論において、圏を
== 定義 ==
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* 単射でも全射でもあるような射は'''全単射'''あるいは'''双射''' (''bimorphism'') と呼ばれる。
* '''[[同型射]]''': 射 {{math|''f'': ''X'' → ''Y''}} が'''同型射'''であるとは、射 {{math|''g'': ''Y'' → ''X''}} で {{math|''f'' ∘ ''g'' {{=}} id<sub>''Y''</sub>}} かつ {{math|''g'' ∘ ''f'' {{=}} id<sub>''X''</sub>}} を満たす。射 {{math|''f''}} が左逆射と右逆射をともに持つとき、両者は一致して {{math|''f''}} は同型射であり、{{math|''g''}} は単に {{math|''f''}} の'''逆射''' (''inverse'') と呼ばれる。逆射は、それが存在すれば一意である。逆射 {{math|''g''}} もやはり同型射であり、逆射として {{math|''f''}} を持つ。二つの対象がその間に同型射を持つとき、それら二つは互いに[[同型]]あるいは同値であるという。注意すべきは、任意の同型射は双射だが、双射は必ずしも同型射ではないことである。例えば、[[可換環]]の圏において包含射 {{math|'''Z''' → '''Q'''}} は双射だが同型射ではない。しかし、全射かつ分裂単射であるような、もしくは単射かつ分裂全射であるような任意の射は同型射でなければならない。集合の圏 '''Set''' のように、任意の双射が同型射であるような圏は、'''均衡圏''' (''balanced category'') と呼ばれる。
* '''{{仮リンク|自己射|en|Endomorphism<!-- [[:ja:自己準同型]] とリンク -->}}''': 射 {{math|''f'': ''X'' → ''X''}} は、対象 {{math|''X''}} の'''自己射'''と言う。冪等自己射 {{math|''f''}} が'''分裂自己射''' (''split endomorphism'') であるとは、分解 {{math|''f'' = ''h'' ∘ ''g''}} で {{math|''g'' ∘ ''h'' {{=}} id}} を満たすものが存在するときに言う。特に、圏の{{仮リンク|カロウビ展開圏|en|Karoubi envelope}}は、任意の冪等射が分裂する。
* '''{{仮リンク|自己同型射|en|automorphism<!-- [[:ja:自己同型]] とリンク -->}}'''は同型射であるような自己射を言う。
== 例 ==
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* {{仮リンク|位相空間の圏|en|category of topological spaces}}において、射は[[連続写像]]であり、同型射は[[同相写像]]と呼ばれる。
* [[可微分多様体]]の圏において、射は[[滑らかな函数|滑らかな写像]]であり、同型射は[[微分同相写像]]と呼ばれる。
* {{仮リンク|小さい圏|en|small categories<!-- 存在しない -->}}の圏において、[[函手]]はその圏における射と考えることができる。
* {{仮リンク|函手圏|en|functor category}}における射は[[自然変換]]である。
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