「射 (圏論)」の版間の差分

* '''[[全射 (圏論)|全射]]''': 双対的に、{{math|''f'': ''X'' → ''Y''}} が'''全射''' (''epi-morphism'') であるとは、{{math|''g''₁ ∘ ''f'' {{=}} ''g''₂ ∘ ''f''}} ならば {{math|''g''₁ {{=}} ''g''₂}} が任意の射 {{math|''g''₁, ''g''₂: ''Y'' → ''Z''}} に対して成立するときに言う。'''エピ射''' (''epi'') あるいは'''全型射''' (''epic'') とも言う<ref name="jacobson:morphisms"/>。

** 具体圏において、右逆射をもつ写像は[[全射|集合論的全射（全写）]]すなわち上への写像である。即ち、具体圏において圏論的前者は殆ど常に集合論的全射である。注意すべきは、上への写像であるという条件は全型であるという条件よりは強いが、分裂全射であるという条件よりは弱いことである。{{仮リンク|集合の圏|en|category of sets}} '''Set''' において任意の（集合論的）全射が切断を持つという事実は[[選択公理]]と同値である。

* '''[[{{仮リンク|同型射]]|en|Isomorphism}}''': 射 {{math|''f'': ''X'' → ''Y''}} が'''同型射'''であるとは、射 {{math|''g'': ''Y'' → ''X''}} で {{math|''f'' ∘ ''g'' {{=}} id_''Y''}} かつ {{math|''g'' ∘ ''f'' {{=}} id_''X''}} を満たす。射 {{math|''f''}} が左逆射と右逆射をともに持つとき、両者は一致して {{math|''f''}} は同型射であり、{{math|''g''}} は単に {{math|''f''}} の'''逆射''' (''inverse'') と呼ばれる。逆射は、それが存在すれば一意である。逆射 {{math|''g''}} もやはり同型射であり、逆射として {{math|''f''}} を持つ。二つの対象がその間に同型射を持つとき、それら二つは互いに[[同型]]あるいは同値であるという。注意すべきは、任意の同型射は双射だが、双射は必ずしも同型射ではないことである。例えば、[[可換環]]の圏において包含射 {{math|'''Z''' → '''Q'''}} は双射だが同型射ではない。しかし、全射かつ分裂単射であるような、もしくは単射かつ分裂全射であるような任意の射は同型射でなければならない。集合の圏 '''Set''' のように、任意の双射が同型射であるような圏は、'''均衡圏''' (''balanced category'') と呼ばれる。

* '''{{仮リンク|自己射|en|Endomorphism<!-- [[:ja:自己準同型射]] とリンク -->}}''': 射 {{math|''f'': ''X'' → ''X''}} は、対象 {{math|''X''}} の'''自己射'''と言う。冪等自己射 {{math|''f''}} が'''分裂自己射''' (''split endomorphism'') であるとは、分解 {{math|''f'' = ''h'' ∘ ''g''}} で {{math|''g'' ∘ ''h'' {{=}} id}} を満たすものが存在するときに言う。特に、圏の{{仮リンク|カロウビ展開圏|en|Karoubi envelope}}は、任意の冪等射が分裂する。

* '''{{仮リンク|自己同型射|en|automorphism<!-- [[:ja:自己同型射]] とリンク -->}}'''は同型射であるような自己射を言う。

* [[普遍代数学]]において調べられるような[[具体圏]]（[[群 (数学)|群]]の{{仮リンク|群の圏|en|Category of groups|label=圏 '''Grp'''}}、[[環 (数学)|環]]の{{仮リンク|環の圏|en|Category of rings|label=圏 '''Ring'''}}、[[環上の加群|加群]]などの{{仮リンク|加群の圏|en|Category of modules|label=圏 ''R''-'''Mod'''}} など）における射は、ふつう[[準同型]]（準同型射）と呼ばれる。自己同型、自己準同型、全準同型、準同型、同型、単準同型などの概念が普遍代数において用いられる。

* {{仮リンク|位相空間の圏|en|category of topological spaces}} '''Top'''において、射は[[連続写像]]であり、同型射は[[同相写像]]と呼ばれる。

* {{仮リンク|小さい圏|en|small categories<!-- 存在しない -->category}}の{{仮リンク|小さい圏の圏|en|Category of small categories|label=圏 '''Cat'''}} において、[[函手]]はその圏における射と考えることができる。

* {{仮リンク|函手圏|en|functor category}} '''Func''' における射は[[自然変換]]である。