「オイラーの公式」の版間の差分

であるので、任意の {{mvar|y}} で収束し、{{math|''y'' {{=}} ''x''<sup>2</sup>}} を代入した級数も任意の {{mvar|x}} で収束し、それに {{mvar|x}} をかけた級数(すなわち {{math|sin&thinsp;''x''}} のマクローリン展開)も任意の {{mvar|x}} で収束する。
 
以上で {{equationNote|Macl1|(1)}}, {{equationNote|Macl2|(2)}}, {{equationNote|Macl3|(3)}} の右辺の収束半径が {{math|∞}} であることが証明された。</ref>。従ってこれらの級数は、{{mvar|x}} を複素変数と見て全複素平面上広義一様に[[絶対収束]]し、これらの級数によって表される関数は[[整関数]]である<ref group="注">全平面上正則な関数を整関数と言うなおこれらは多項式でないので超越整関数であり、[[無限遠点]]を[[真性特異点]]に持つ</ref>。これら級数の収束性と[[正則関数]]に関する[[一致の定理]]により、[[解析接続|正則関数としての拡張]]は全平面でこの収束[[冪級数]]によって確定されるため、複素関数としての指数関数および、三角関数は通常、この級数展開式をもって定義される。
 
ここで、 {{math|''e''<sup>''x''</sup>}} の {{mvar|x}} を {{mvar|ix}} に置き換え、{{math|''e''<sup>''ix''</sup>}} の冪級数が絶対収束するために級数の項の順序を任意に交換可能である事を考慮すれば
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