「群の直和」の版間の差分

{{mvar|G}} が部分群の(非可算の場合も許す)無限集合の直和の場合において群の直和と直積との関係を述べるには、より多くの注意が必要である。
 
{{mvar|G}} が部分群の無限集合 {{math|{''H''<sub>&lambda;</sub>}}} の'''内部直和''' (internal dorectdirect sum) {{math|∑''H''<sub>&lambda;</sub>}}であるとは、{{mvar|G}} の各元 {{mvar|g}} が適当な有限集合 {{math|''S'' {{=}} ''S''{{sub|''g''}}}} と {{math|{''h''<sub>''i''</sub> &isin; ''H''<sub>''i''</sub> : ''i'' &isin; ''S''}}} を選んで、{{math|''g'' {{=}} ∏ {''h''<sub>''i''</sub> : ''i'' &isin; ''S''}}} と一意的に表せるときに言う。
 
{{mvar|g}} が群の無限[[デカルト積|直積]] {{math|∏{''H''<sub>&lambda;</sub>}}} の元であるとき、この直積における {{mvar|g}} の第 {{mvar|&lambda;}}-成分を {{math|''g''<sub>&lambda;</sub>}} と書くことにする。群の集合 {{math|{''H''<sub>&lambda;</sub>}}} の'''外部直和''' (external direct sum)(あるいは制限直積) {{math|∑<sub>'''''E'''''</sub>{''H''<sub>&lambda;</sub>}}} は、直積 {{math|∏{''H''<sub>&lambda;</sub>}}} の次のような部分集合である。
: 各元 {{math|''g'' &isin; ∑<sub>'''''E'''''</sub>{''H''<sub>&lambda;</sub>}}} の成分{{math|''g''<sub>&lambda;</sub>}} は[[補有限|有限個を除くすべて]]が[[単位元]] <math>e_{H_\lambda}</math> に一致する(同じことだが、{{math|''g''<sub>&lambda;</sub>}} のうち有限個だけが単位元でない)。
外部直和における群演算は通常の直積のように成分ごとの積とする。この部分集合は確かに群をなす。特に、群の有限集合に対して、それらの外部直和は直積に等しい。
 
{{math|''G'' {{=}} ∑''H''<sub>&lambda;</sub>}} であるとき、{{mvar|G}} は {{math|∑<sub>'''''E'''''</sub>{''H''<sub>&lambda;</sub>}}} に同型である。したがって、ある意味、このときの直和はある意味「内部」(internal) 外部直和である。
 
==関連項目==
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