「始対象と終対象」の版間の差分

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m リンク修正: 空積
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=== 同値な定式化 ===
 
圏 {{mvar|𝒞}} における終対象は唯一の空[[図式 (圏論)|図式]] {{math|∅ → ''𝒞''}} の[[極限 (圏論)|極限]]として定義することもできる。空圏は自明に{{仮リンク|離散圏|en|discrete category}}なので、終対象は{{仮リンク|[[空積|label=|en|empty product}}]][[積 (圏論)|積]]と考えることができる(積は実際一般に離散図式 {{math|{X_i}}} の極限である)。双対的に、始対象は空図式 {{math|∅ → ''𝒞''}} の[[極限 (圏論)|余極限]]であり{{仮リンク|空和|label=空|en|empty sum}}[[余積]]あるいは圏論的和と考えることができる。
 
極限を保つ任意の[[関手]]は終対象を終対象に写すことと、余極限を保つ任意の関手は始対象を始対象に写すことが、従う。例えば、{{仮リンク|自由対象|en|free object}}をもった任意の{{仮リンク|具体圏|en|concrete category}}における始対象は空集合で生成された自由対象になる(なぜならば{{仮リンク|自由関手|en|free functor}}は {{math|'''Set'''}} への{{仮リンク|忘却関手|en|forgetful functor}}への[[左随伴]]であり、余極限を保つからである。)