「ホモロジカルミラー対称性予想」の版間の差分

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:[[カラビ-ヤウ多様体]]のペア X と Y のミラー対称性は、[[代数多様体]] X から構成された{{仮リンク|三角圏|en|triangulated category}} (X 上の[[連接層]]の[[導来圏]])と、もう一つの Y の[[シンプレクティック多様体]]から構成される三角圏({{仮リンク|深谷圏|en|Fukaya category}})の同値性として説明されるのではないか。
 
[[エドワード・ウィッテン]]は、最初に N = (2,2) の超対称性場の理論を位相的ツイストすることで、[[位相的弦理論]]のAモデルとBモデルと呼ばれるモデルを記述した。これらのモデルは、リーマン面から普通はカラビ-ヤウ多様体である固定された対象空間上への写像に関係する。数学でのミラー対称性予想の多くは、Y 上のA-モデルと X 上のB-モデルの物理的な同値関係と見なせる。リーマン面が境界を持たない場合は、ワールドシートが閉じた弦を表す。開いた弦については、超対称性を保存する境界条件を導入する必要がある。A-モデルでは、この境界条件として追加された構造(ブレーン構造と言う)を持った Y 上の[[シンプレクティック多様体#ラグランジアン部分多様体、あるいはその他の部分多様体|ラグランジアン部分多様体]]から導出される。B-モデルは、境界条件として X の上の正則(もしくは代数的)クトルバンドルを持つ部分多様体から導出される。これらは適当な[[圏論|圏]]を形成する対象で、AブレーンやBブレーンということもある。圏のモルフィズムは2つのブレーンの間に張られた開いた弦の無質量なスペクトルにより与えられる。
 
A-モデルとB-モデルの閉じた弦は、単純に弦理論の全体の一部(トポロジカルセクター)と考えられ、また同様に、これらのモデルのブレーン構造は、[[Dブレーン]]という力学的対象全体の位相的な近似と考えられる。しかし、弦理論のこの部分から出てくる数学的結果は深く、また難しい問題である。