「オイラーの公式」の版間の差分

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[[数学]]、特に[[複素解析]]における'''オイラーの公式'''(オイラーのこうしき、{{lang-en-short|Euler's formula}})は、[[指数関数]]と[[三角関数]]の間に成り立つ以下の関係をいう。
:<math>e^{i\theta} =\cos\theta +i\sin\theta.</math>
ここで {{math|''e''<sup>'''&middot;'''</sup>}} は指数関数、{{mvar|i}} は[[虚数単位]]、{{math|cos '''&middot;''', sin '''&middot;'''}} はそれぞれ余弦関数および正弦関数であ<ref group="注">指数関数 {{math|''e''<sup>'''&middot;'''</sup>}} は[[冪乗|累乗]]を拡張したもので、複素数 {{math|''x'', ''y''}} について {{math|''e''<sup>''x''</sup>&thinsp;&times;&thinsp;e<sup>''y''</sup> {{=}} e<sup>''x''+''y''</sup>}} という関係が成り立つ。{{math|''e'' {{=}} ''e''<sup>1</sup> {{=}} 2.718281828...}} は'''自然対数の底'''あるいは'''[[ネイピア数]]'''と呼ばれる。<br />虚数単位 {{mvar|i}} は {{math|''i''<sup>2</sup> {{=}} ''i''&thinsp;&times;&thinsp;''i'' {{=}} &minus;1}} を満たす複素数である。<br />余弦関数 {{math|cos&thinsp;'''&middot;'''}} および正弦関数 {{math|sin&thinsp;'''&middot;'''}} は三角関数の一種である。正弦関数 {{math|sin&thinsp;''&theta;''}} は、[[直角三角形]]の[[斜辺]]とその三角形の変数 {{mvar|&theta;}} に対応する角度を持つ[[鋭角]]の[[対辺]](正弦)の長さの比を表す。余弦関数 {{math|cos&thinsp;''&theta;''}} はもう一方の鋭角(余角)の対辺と斜辺の長さの比を表す。単位円(半径の長さを 1 とする円)の中心を原点とする直交座標系をとったとき、単位円上の点を表す {{math|''x'', ''y''}} 座標はそれぞれ {{math|cos&thinsp;''&theta;'', sin&thinsp;''&theta;''}} に等しい({{mvar|&theta;}} は円の中心と円周上の点を結ぶ直線と、{{mvar|x}} 軸のなす角の大きさに対応する)。<br />文献によっては、指数関数は、{{en|<u>exp</u>onent}}(指数)から3字取って {{math|exp&thinsp;''x'' ({{=}} ''e''<sup>''x''</sup>)}} と表される。また虚数単位には {{mvar|i}} でなく {{mvar|j}} を用いることがある。</ref>、&theta;。任意単位は[[ラジアン複素数]] {{mvar|&theta;}} に対して成り立つ等式であるが、特に {{mvar|&theta;}} が実数である場合が重要でありよく使われる。{{mvar|&theta;}} が[[実数]]ならのとき、{{mvar|&theta;}} は[[複素数]] {{math|''e''<sup>''i&theta;''</sup>}} がなす[[複素平面]]上の[[複素数#極形式|偏角]](角度 {{mvar|&theta;}} の単位は[[ラジアン]])に対応する。
 
公式の名前は18世紀の数学者[[レオンハルト・オイラー]] ([[:en:Leonhard Euler|Leonhard Euler]]) に因むが、最初の発見者は[[ロジャー・コーツ]] ([[:en:Roger Cotes|Roger Cotes]]) とされる。コーツは[[1714年]]に
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