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である： 各 <math>i\!</math> に対して、<math>v_i\!</math> を除くすべての変数を定数のまま止めると、<math>f(v_1,\ldots,v_n)</math> は <math>v_i\!</math> の[[線型写像]]である<ref>Lang. Algebra. Springer; 3rd edition (January 8, 2002)</ref>。
一変数の多重線型写像は[[線型写像]]であり、二変数のそれは[[双線型写像]]である。より一般に、''k'' 変数の多重線型写像は '''''k''- 重線型写像''' (''k''-linear map) と呼ばれる。多重線型写像の終域が係数体であれば、[[多重線型形式]]と呼ばれる。多重線型写像や多重線型形式は{{仮リンク|多重線型代数|en|multilinear algebra}}において研究の基本的な対象である。
すべての変数が同じ空間に属していれば、{{仮リンク|対称関数|en|symmetric function|label=対称}}、[[反対称]]、{{仮リンク|交代写像|label=交代|en|alternating map}} ''k''- 重線型写像を考えることができる。基礎[[環 (数学)|環]]（あるいは[[体 (数学)|体]]）の標数が 2 でなければ後ろ2つは一致し、標数が 2 であれば前2つは一致する。
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[[線型代数学]]において、'''多重線型写像'''とは、多ベクトル変数のベクトル値写像であって、各変数について線型であるものである。スカラー値の多重線型写像は多重線型形式と呼ばれる。二変数の多重線型写像は双線型と呼ばれる。
En [[algèbre linéaire]], une '''application multilinéaire''' est une [[application (mathématiques)|application]] [[fonction de plusieurs variables|à plusieurs variables]] [[Vecteur|vectorielles]] et à valeurs vectorielles qui est [[linéarité|linéaire]] en chaque variable. Une application multilinéaire à valeurs [[Scalaire (mathématiques)#Scalaires d'espaces vectoriels|scalaires]] est appelée [[forme multilinéaire]]. Une application multilinéaire à deux variables vectorielles est dite [[application bilinéaire|bilinéaire]].
古典的な例：
Quelques exemples classiques :
* [[スカラー積]]は[[対称双線型形式|対称]][[双線型形式]]である
* le [[produit scalaire]] est une [[forme bilinéaire]] [[Forme bilinéaire symétrique|symétrique]] ;
* [[行列式]]は[[正方行列]]の列（あるいは行）の反対称多重線型形式である
* le [[Déterminant (mathématiques)|déterminant]] est une forme multilinéaire antisymétrique des colonnes (ou rangées) d'une [[matrice carrée]].
多重線型写像の系統的な研究により行列式、{{仮リンク|外積|fr|Produit extérieur|preserve=1}}、そして幾何学的内容を含む多くの他の道具の一般的な定義が得られる。対応する代数学の分野は[[多重線型代数]]である。しかし[[多様体]]の枠組みや[[微分幾何学]]においても多くの応用がある。
L'étude systématique des applications multilinéaires permet d'obtenir une définition générale du déterminant, du [[produit extérieur]] et de nombreux autres outils ayant un contenu géométrique. La branche de l'algèbre correspondante est l'[[algèbre multilinéaire]]. Mais il y a également de très nombreuses applications dans le cadre des [[variété (géométrie)|variétés]], en [[topologie différentielle]].
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:<math>f(x_1,\dots,x_{i-1},ax_i+bx'_i,x_{i+1},\dots,x_k)=af(x_1,\dots ,x_i,\dots, x_k)+bf(x_1,\dots,x'_i,\dots x_k)</math>
であることをいう。
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インフォーマルには、''k'' 重線型写像を[[分配法則|分配的な]] ''k'' 項の写像の積として表せる。
De façon informelle, on peut se représenter une application <math>k</math>-linéaire comme une application produit de <math>k</math> termes, avec une propriété de type [[distributivité]].
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''E''<sub>1</sub>×…×''E<sub>k</sub>'' から ''F'' への ''k'' 線型写像全体の集合は {{仮リンク|ベクトル空間の例|fr|Exemples d'espaces vectoriels#Espaces fonctionnels|label=''E''<sub>1</sub>×…×''E<sub>k</sub>'' から ''F'' へのすべての写像からなる空間 ''F<sup>E''<sub>1</sub>×…×''E<sub>n</sub></sup>''}}の[[部分ベクトル空間]]である。したがってそれはベクトル空間であり、<math>{}^{L(E_1,\ldots,E_k;F)}</math>, あるいは <math>{}^{E_1=\ldots=E_k=E}</math> であるときはより簡単に <math>L_k(E;F)</math> と記す。''E'' 上の[[多重線型形式| ''k''-線型形式]]の空間 <math>L_k(E;K)</math> を <math>L_k(E)</math> と書く。
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Si <math>''k'' = 1</math>, onであれば、''E'' retrouveから l'espace'F'' への線型写像の空間 <math>''L''(''E''; ''F'')</math> desである。''k'' applications linéaires de <math>E</math> dans <math>F</math>. En revanche si <math>k>1</math>, il ne faut pas confondre l'espace d'applications multilinéairesであれば、多重線型写像の空間 <math>{}^{L(E_1,\ldots,E_k;F)}</math> avec l'espace <math>と{}^{L(E_1\times\ldots\times E_k;F)}</math> des applications linéaires sur l'[[仮リンク|直積ベクトル空間|fr|Espace vectoriel#Produits et sommes directes|espace vectoriel produit]]}} <math>{}^{E_1\times\ldots\times E_k}</math>. Par上の線型写像の空間を混同してはならない。例えば、''K'' exemple, de× ''K×KK'' dansから ''K'', la multiplicationからの写像では、乗法 <math>{}^{(x_1,x_2)\mapsto x_1x_2}</math> est bilinéaire mais pas linéaire, tandis que la projectionは双線型だが線型でなく、一方射影 <math>{}^{(x_1,x_2)\mapsto x_1}</math> est linéaire mais pas bilinéaire.は線型だが双線型でない。
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==例==
* 任意の[[双線型写像]]は多重線型写像である。例えば、ベクトル空間上の任意の[[内積]]や <math>\mathbb{R}^3</math> のベクトルの[[クロス積]]は多重線型写像である。
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