「図形の合同」の版間の差分

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== 三角形の決定問題 ==
{{main|{{仮リンク|三角形の決定|en|Solution of triangles}}}}
ユークリッドの運動のどの操作も、[[三角形]]のそれぞれの辺の長さや角の大きさを変えない。逆に2つの三角形が、互いに等しい長さの辺を持ち、対応する角も全て等しければ、2つは合同であることが分かる。つまり、3つの辺全てが等しく、三つの角も全て等しいということは、合同であるための必要十分条件である。この条件はもう少し簡単にすることができる。それが以下の3つである。[[File:Congruent triangles.svg|thumb|right|三角形の合同条件: '''SAS'''(左上); '''ASA'''(右上); '''AAS'''(左下)。'''SSA'''(右下) は二通りの可能性が考えられ、三角形の形状を決定しない。]]
; 三角形の合同条件:
* '''SSS''' (三辺相等): 3組の辺がそれぞれ等しい
* '''SAS''' (二辺夾角相等): 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
* '''AAS'''
* '''AASASA''' (一辺両端角相等/二角夾辺相等): 1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい
{{仮リンク|綜合幾何学|en|synthetic geometry}}における{{仮リンク|公理的手法|en|Axiomatic method}}に従い、[[ユークリッド幾何学]]([[原論]])において、これらはそれぞれ[[定理]]として証明されている。一方、[[ダフィット・ヒルベルト|ヒルベルト]]による幾何学の公理化においても、これらはそれぞれ定理として証明されているが、二辺夾角相等に関しては、これに非常に近い[[公理]]が用いられ証明されている<ref>see also. {{MathWorld|title=Congruence Axioms|urlname=CongruenceAxioms}}</ref>。日本の中学校数学においては、この点を曖昧にしており、あたかもすべてが公理であるかのように、作図に頼って導入されている。
 
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The plane-triangle congruence theorem angle-angle-side (AAS) does not hold for spherical triangles.<ref>Hollyer, L., http://www.uh.edu/~hollyer/Module6/m6ppt/sld089.htm</ref> As in plane geometry, side-side-angle (SSA) does not imply congruence.
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== 円錐曲線の合同性と離心率 ==
二つの円錐曲線が合同であるには、それらの[[離心率]]が一致し、かつそれ以外にそれらを特徴づける別のパラメータが一つ一致することが十分である。離心率は円錐曲線の形を決定するから、離心率が等しいことは相似性を言うには十分であり、もう一つのパラメータで大きさを決定することになる。二つの[[円 (数学)|円]]、二つの[[放物線]]、二つの[[直角双曲線]]は常に同じ離心率(円は {{math|0}}、放物線は {{math|1}}、直角双曲線は {{math|{{sqrt|2}}}})を持つから、これらの合同判定には、大きさを決めるパラメータが共通値であることのみを知ればよい。