「連続 (数学)」の版間の差分

{{dablink|[[実数直線]]（あるいは実数直線内の[[区間 (数学)|区間]]）が{{仮リンク|デデキント完備|label=順序完備|en|Dedekind completeness}}であること（即ち、[[連続体 (集合論)|'''連続'''体]]を成すこと）を、歴史的経緯から「[[実数の連続性|実数の'''連続性''']]」と呼ぶことがあるが、本項に言う「連続性」と混同してはならない。この連続性は実数全体が[[絶対値]]に関して成す距離空間が[[完備距離空間|コーシー'''完備''']]であることと同値である。また実数直線内の区間が全て[[連結空間|'''連結''']]となることとも言い換えられる。}}

[[数学]]において、'''連続'''（れんぞく、{{lang-en-short|''continuous''}}）および'''連続性'''（れんぞくせい、{{lang-en-short|''continuity''}}）とは、いくら拡大しても近くにあって差が無いことを示す[[極限]]概念である。[[位相空間]]のあいだの[[写像]]について、開集合や極限といった位相的な概念を一定の方法でたもつという条件によって連続性の概念が定められる。これは異なる位相空間のあいだの関係を表す最も基本的な枠組みである。<ref group="*">日常語としては「連続」が「切れずに繋がっている」という意味で使われることがあるが、位相空間の性質として「切れずに繋がっている」ということを表す概念は「[[連結空間|連結]]性」である。事実として「連結[[定義域|領域]]の連続像は必ず連結」であり、従って連結な定義域を持つ連続函数の[[グラフ (函数)|グラフ]]は文字通り「切れずに繋がっている」ことになるが、それは連続性の本質ではない。</ref>

 

===ヘルダー連続===

 

=== リプシッツ連続 ===

{{main|リプシッツ連続}}

ヘルダー連続性のさらに特別な場合として、リプシッツ連続性の概念がある。一変数実関数''f''(''x'')について、''f''(''x'') と ''f''(''y'') の差が ''x'' と ''y'' の差に[[比例]]するある量で抑えられるとき ''f'' は'''リプシッツ連続''' (Lipschitz continuous) であるという。つまり、''f'' が ''I'' 上リプシッツ連続であるとは、''f'' が次の条件を満たすことである:

 

この概念は距離空間の間の写像に対して抽象化される。

 

== 不連続関数 ==

* sin(1/''x'') は ''x'' = 0 の時の値をどのように定めてもこの点で不連続になる。これは第一種不連続点ではない。

* ''x'' が[[有理数]]なら1、[[無理数]]なら0を値とするような関数 ''d''(''x'') を[[ディリクレの関数]]と呼ぶ。これは '''R''' 上の全ての点で不連続である。単純だが極端な不連続関数の例として[[積分]]論などの議論で重宝される。