「ホモロジー代数学」の版間の差分
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ホモロジー代数学の発展は[[圏論]]の出現と密接に結びついている。概して、ホモロジー代数はホモロジー的[[関手]]とそれから必然的に生じる複雑な代数的構造の研究である。<!-- 一般的な科学的意味での構造 (structure) であって、普遍代数の狭い意味での代数的構造ではない-->数学においてきわめて有用で遍在する概念の1つは'''[[鎖複体|チェイン複体]]''' (chain complex) の概念であり、これはそのホモロジーと[[コホモロジー]]の両方を通じて研究できる。ホモロジー代数は、これらの複体に含まれる情報を得、それを[[環 (数学)|環]]、加群、[[位相空間]]や、他の 'tangible' な数学的対象のホモロジー的[[不変量]]の形で描写する手段を提供してくれる。これをするための強力な手法は{{仮リンク|スペクトル系列|en|spectral sequence}}によって与えられる。
まさにその起源から、ホモロジー代数学は代数トポロジーにおいて非常に多くの役割を果たしている。その影響の範囲は徐々に拡大しており現在では[[可換環論]]、[[代数幾何学]]、[[代数的整数論]]、[[表現論]]、[[数理物理学]]、[[作用素環論]]、[[複素解析]]、そして[[偏微分方程式]]論を含む。[[K-理論]]はホモロジー代数学の手法を利用する独立した分野であり、[[アラン・コンヌ]]の[[非可換幾何]]もそうである。
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== チェイン複体とホモロジー ==
{{main|鎖複体}}
'''[[鎖複体|チェイン複体]]'''
: <math> C_\bullet: \cdots \longrightarrow
C_{n+1} \stackrel{d_{n+1}}{\longrightarrow}
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: <math> B_n \subseteq Z_n \subseteq C_n. </math>
アーベル群の[[部分群]]は自動的に[[正規部分群|正規]]である。したがって、''n'' 次 '''ホモロジー群''' (''n''th homology group) ''H''<sub>''n''</sub>(''C'') を ''n''-サイクルの ''n''-バウンダリによる[[商
: <math> H_n(C) = Z_n/B_n = \operatorname{Ker}\, d_n/ \operatorname{Im}\, d_{n+1}. </math>
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として定義できる。チェイン複体は、すべてのそのホモロジー群が 0 であるときに、'''非輪状''' (acyclic) または'''[[完全列]]'''、'''完全系列''' (exact sequence) と呼ばれる。
チェイン複体は[[抽象代数学|代数学]]や[[代数トポロジー]]においてよく現れる。例えば、''X'' が[[位相空間]]であれば、その[[特異チェイン]] ''C''<sub>''n''</sub>(''X'') は標準 ''n''-[[単体 (数学)|単体]]から ''X'' の中への[[連続写像]]の形式的な[[線型結合]]である。''K'' が[[単体的複体]]であれば{{仮リンク|鎖 (代数トポロジー)|label=単体的チェイン|en|Chain (algebraic topology)}} ''C''<sub>''n''</sub>(''K'') は ''X'' の ''n''-単体の形式的な線型結合である。''A'' = ''F''/''R'' がアーベル群 ''A'' の
哲学的なレベルでは、ホモロジー代数学は、代数的あるいは幾何学的対象(位相空間、単体的複体、''R''-加群)に伴ったチェイン複体は、ホモロジーは最も容易に得られる部分でしかないが、それらについてたくさんの価値ある代数的情報を含む、ということを教えてくれる。専門的なレベルでは、ホモロジー代数学は複体を巧みに処理しこの情報を抽出するためのツールを提供する。ここに2つの一般的な例がある。
* 2つの対象 ''X'' と ''Y'' がそれらの間の写像 ''f'' で結ばれている。ホモロジー代数学は ''f'' によって誘導される、''X'' と ''Y'' に伴うチェイン複体とそれらのホモロジーの間の関係を研究する。これは複数の対象とそれらをつなげる写像の場合に一般化される。[[圏論]]の言葉で言えば、ホモロジー代数学はチェイン複体とこれらの複体のホモロジーのさまざまな構造の[[関手]]的性質を研究する。
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=== アーベル圏 ===
{{Main|アーベル圏}}
[[数学]]において、'''アーベル圏''' (abelian category) は、[[射]]や対象を足すことができ、{{仮リンク|核 (圏論)|label=核|en|kernel (category theory)}}や[[余核]]が存在し望ましい性質をもった[[圏]]である。動機付けるプロトタイプのアーベル圏の例は{{仮リンク|アーベル群の圏|en|category of abelian groups}} '''Ab''' である。理論の起源は [[アレクサンドル・グロタンディーク
より具体的には、圏が'''アーベル圏'''であるとは以下を満たすことである。
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を得る。(''A''⊗<sub>''R''</sub>''B'' は現れず、最後の矢はただの零写像であることに注意する。)そしてこの複体の[[ホモロジー (数学)|ホモロジー]]をとる。
=== スペクトル系列 ===
{{Main|{{仮リンク|スペクトル系列|en|spectral sequence}}}}
環上の加群の圏のような[[アーベル圏]]を固定する。'''スペクトル(系)列''' (spectral sequence) は非負整数 ''r''<sub>0</sub> の選択と3つの列の集まりである。
# すべての整数 ''r'' ≥ ''r''<sub>0</sub> に対して、対象 ''E<sub>r</sub>''。([[紙]]のシートのように)''シート'' (sheet) と呼ばれる。''ページ'' (page) や''ターム'' (term) と呼ばれることもある。
# ''d<sub>r</sub>'' <small>o</small> ''d<sub>r</sub>'' = 0 を満たす自己準同型 ''d<sub>r</sub>'' : ''E<sub>r</sub>'' → ''E<sub>r</sub>''。''境界写像'' (boundary map) や''微分'' (differential) と呼ばれる。
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様々な応用が念頭にあり、主題全体を一定の基礎の上に置こうとすることは自然だった。主題が落ち着くまでにいくつかの試みがあった。大体の経過は以下のように述べられる。
* [[Henri Cartan|Cartan]]
* 'Tohoku'(東北): [[Alexander Grothendieck]] による名高い論文におけるアプローチ。1957年に[[東北数学雑誌|Tohoku Mathematical Journal]](東北数学雑誌)の Second Series に現れ、(アーベル群の[[層 (数学)|層]]を含むために)[[アーベル圏]]の概念を使っている。
* [[Grothendieck]] と {{仮リンク|ジャン・ルイ・ヴェルディエ
これらは計算可能性から一般性へと進展する。
一段とすぐれた (''par excellence'') 計算のスレッジハンマーは{{仮リンク|スペクトル系列|en|spectral sequence}}である。これは例えば2つの関手の合成の導来関手を計算するのに必要である
はじめのコホモロジーを ''{{仮リンク|torsor|en|torsor}}'' として拡張する '非可換' 理論の試みがなされている([[ガロワ・コホモロジー]]において重要である)。
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