「ホモロジー代数学」の版間の差分

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ホモロジー代数学の発展は[[圏論]]の出現と密接に結びついている。概して、ホモロジー代数はホモロジー的[[関手]]とそれから必然的に生じる複雑な代数的構造の研究である。<!-- 一般的な科学的意味での構造 (structure) であって、普遍代数の狭い意味での代数的構造ではない-->数学においてきわめて有用で遍在する概念の1つは'''[[鎖複体|チェイン複体]]''' (chain complex) の概念であり、これはそのホモロジーと[[コホモロジー]]の両方を通じて研究できる。ホモロジー代数は、これらの複体に含まれる情報を得、それを[[環 (数学)|環]]、加群、[[位相空間]]や、他の 'tangible' な数学的対象のホモロジー的[[不変量]]の形で描写する手段を提供してくれる。これをするための強力な手法は{{仮リンク|スペクトル列|en|spectral sequence}}によって与えられる。
 
まさにその起源から、ホモロジー代数学は代数トポロジーにおいて非常に多くの役割を果たしている。その影響の範囲は徐々に拡大しており現在では[[可換環論]]、[[代数幾何学]]、[[代数的整数論]]、[[表現論]]、[[数理物理学]]、[[作用素環論]]、[[複素解析]]、そして[[偏微分方程式]]論を含む。[[K-理論]]はホモロジー代数学の手法を利用する独立した分野であり、[[アラン・コンヌ]]の[[非可換幾何]]もそうである。
== チェイン複体とホモロジー ==
{{main|鎖複体}}
'''[[鎖複体|チェイン複体]]'''(chain complex)(chain complex) はホモロジー代数学の中心的な概念である。それは[[アーベル群]]と[[群準同型]]の列 <math> (C_\bullet, d_\bullet)</math> であって、任意の2つの連続した[[写像]]の合成が 0 になるという性質をもったものである。
: <math> C_\bullet: \cdots \longrightarrow
C_{n+1} \stackrel{d_{n+1}}{\longrightarrow}
: <math> B_n \subseteq Z_n \subseteq C_n. </math>
 
アーベル群の[[部分群]]は自動的に[[正規部分群|正規]]である。したがって、''n'' 次 '''ホモロジー群''' (''n''th homology group) ''H''<sub>''n''</sub>(''C'') を ''n''-サイクルの ''n''-バウンダリによる[[商群|因子群]]
 
: <math> H_n(C) = Z_n/B_n = \operatorname{Ker}\, d_n/ \operatorname{Im}\, d_{n+1}. </math>
として定義できる。チェイン複体は、すべてのそのホモロジー群が 0 であるときに、'''非輪状''' (acyclic) または'''[[完全列]]'''、'''完全系列''' (exact sequence) と呼ばれる。
 
チェイン複体は[[抽象代数学|代数学]]や[[代数トポロジー]]においてよく現れる。例えば、''X'' が[[位相空間]]であれば、その[[特異チェイン]] ''C''<sub>''n''</sub>(''X'') は標準 ''n''-[[単体 (数学)|単体]]から ''X'' の中への[[連続写像]]の形式的な[[線型結合]]である。''K'' が[[単体的複体]]であれば{{仮リンク|鎖 (代数トポロジー)|label=単体的チェイン|en|Chain (algebraic topology)}} ''C''<sub>''n''</sub>(''K'') は ''X'' の ''n''-単体の形式的な線型結合である。''A''&nbsp;=&nbsp;''F''/''R'' がアーベル群 ''A'' の{{仮リンク[[群の表示|生成元と関係式|en|Presentation of a group}} (generators and relations) ]]による表現、ただし ''F'' は生成元で張られた[[自由アーベル群]]で ''R'' は relations の部分群、であれば、''C''<sub>1</sub>(''A'')&nbsp;=&nbsp;''R'', ''C''<sub>0</sub>(''A'')&nbsp;=&nbsp;''F'', そしてすべての他の ''n'' に対して ''C''<sub>''n''</sub>(''A'')&nbsp;=&nbsp;0 とすることによって、アーベル群の列が定義される。これらのケースではすべて、''C''<sub>''n''</sub> を複体にする自然な微分 ''d''<sub>''n''</sub> が存在する。その複体のホモロジーは位相空間 ''X''、単体的複体 ''K''、あるいはアーベル群 ''A'' の構造を反映している。位相空間のケースでは、[[特異ホモロジー]]の概念に到達する。これはそのような空間例えば[[多様体]]の性質を研究する際に基本的な役割を果たす。
哲学的なレベルでは、ホモロジー代数学は、代数的あるいは幾何学的対象(位相空間、単体的複体、''R''-加群)に伴ったチェイン複体は、ホモロジーは最も容易に得られる部分でしかないが、それらについてたくさんの価値ある代数的情報を含む、ということを教えてくれる。専門的なレベルでは、ホモロジー代数学は複体を巧みに処理しこの情報を抽出するためのツールを提供する。ここに2つの一般的な例がある。
* 2つの対象 ''X'' と ''Y'' がそれらの間の写像 ''f'' で結ばれている。ホモロジー代数学は ''f'' によって誘導される、''X'' と ''Y'' に伴うチェイン複体とそれらのホモロジーの間の関係を研究する。これは複数の対象とそれらをつなげる写像の場合に一般化される。[[圏論]]の言葉で言えば、ホモロジー代数学はチェイン複体とこれらの複体のホモロジーのさまざまな構造の[[関手]]的性質を研究する。
=== アーベル圏 ===
{{Main|アーベル圏}}
[[数学]]において、'''アーベル圏''' (abelian category) は、[[射]]や対象を足すことができ、{{仮リンク|核 (圏論)|label=核|en|kernel (category theory)}}や[[余核]]が存在し望ましい性質をもった[[圏]]である。動機付けるプロトタイプのアーベル圏の例は{{仮リンク|アーベル群の圏|en|category of abelian groups}} '''Ab''' である。理論の起源は [[アレクサンドル・グロタンディーク|]] (Alexander Grothendieck]]) によるいくつかの[[コホモロジー論]]を統合しようとする試験的な試みである。アーベル圏はとても''安定''(stable) (stable) である。例えば、{{仮リンク|正則圏|label=正則|en|regular category}}であり、[[蛇の補題]]を満たす。アーベル圏のクラスはいくつかの圏論的構成で閉じている。例えば、アーベル圏の[[鎖複体|チェイン複体]]の圏や、{{仮リンク|小さい圏|en|small category}}からアーベル圏への[[関手]]の圏は、再びアーベル圏である。これらの安定性によってアーベル圏はホモロジー代数学やその先で必要不可欠なものである。理論は[[代数幾何学]]、[[コホモロジー]]、そして純粋に[[圏論]]において、主要な応用をもつ。アーベル圏は [[ニールス・アーベル|]] (Niels Henrik Abel]]) にちなんで名づけられている。
 
より具体的には、圏が'''アーベル圏'''であるとは以下を満たすことである。
を得る。(''A''&otimes;<sub>''R''</sub>''B'' は現れず、最後の矢はただの零写像であることに注意する。)そしてこの複体の[[ホモロジー (数学)|ホモロジー]]をとる。
 
=== スペクトル列 ===
{{Main|{{仮リンク|スペクトル|en|spectral sequence}}}}
環上の加群の圏のような[[アーベル圏]]を固定する。'''スペクトル(系)列''' (spectral sequence) は非負整数 ''r''<sub>0</sub> の選択と3つの列の集まりである。
# すべての整数 ''r'' ≥ ''r''<sub>0</sub> に対して、対象 ''E<sub>r</sub>''。([[紙]]のシートのように)''シート'' (sheet) と呼ばれる。''ページ'' (page) や''ターム'' (term) と呼ばれることもある。
# ''d<sub>r</sub>'' <small>o</small> ''d<sub>r</sub>'' = 0 を満たす自己準同型 ''d<sub>r</sub>'' : ''E<sub>r</sub>'' → ''E<sub>r</sub>''。''境界写像'' (boundary map) や''微分'' (differential) と呼ばれる。
様々な応用が念頭にあり、主題全体を一定の基礎の上に置こうとすることは自然だった。主題が落ち着くまでにいくつかの試みがあった。大体の経過は以下のように述べられる。
 
* [[Henri Cartan|Cartan]]-[[Samuel Eilenberg|Eilenberg]]: 彼らの 1956 年の本 "Homological Algebra" において、これらの著者は[[射影分解|射影]]および[[移入分解|移入加群分解]]を用いた。
* 'Tohoku'(東北): [[Alexander Grothendieck]] による名高い論文におけるアプローチ。1957年に[[東北数学雑誌|Tohoku Mathematical Journal]](東北数学雑誌)の Second Series に現れ、(アーベル群の[[層 (数学)|層]]を含むために)[[アーベル圏]]の概念を使っている。
* [[Grothendieck]] と {{仮リンク|ジャン・ルイ・ヴェルディエール|en|Jean-Louis Verdier}} (Jean-Louis Verdier) の[[導来圏]]。導来圏は Verdier の1967年の学位論文までさかのぼる。これは多くの現代理論で使われる{{仮リンク|三角圏|en|triangulated category}} の例である。
 
これらは計算可能性から一般性へと進展する。
 
一段とすぐれた (''par excellence'') 計算のスレッジハンマーは{{仮リンク|スペクトル系列|en|spectral sequence}}である。これは例えば2つの関手の合成の導来関手を計算するのに必要である Cartan-EilenbergCartan–Eilenberg や Tohoku のアプローチにおいて必須である。スペクトル系列は導来圏のアプローチでは重要性は落ちるがそれでも具体的な計算が必要なときにはいつでも役割を果たす。
 
はじめのコホモロジーを ''{{仮リンク|torsor|en|torsor}}'' として拡張する '非可換' 理論の試みがなされている([[ガロワ・コホモロジー]]において重要である)。
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