「第一可算的空間」の版間の差分
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Toshio Ishikawa (会話 | 投稿記録) →性質: 修正前：第一可算的空間では点列コンパクト性と可算コンパクト性は同値である 修正後：T1を満たす第一可算的空間では点列コンパクト性と可算コンパクト性は同値である タグ: モバイル編集 モバイルウェブ編集 |
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特に、''f'' を第一可算的空間の上の写像とすると、''f'' が ''x'' で極限値 ''L'' をもつことと、''x'' に収束する点列 {''x''<sub>''n''</sub>} ですべての ''n'' に対して ''x'' ≠ ''x''<sub>''n''</sub> であるようなものをどのようにとっても点列 {''f''(''x''<sub>''n''</sub>)} が ''L'' に収束することとは同値である。また、第一可算空間上の写像 ''f'' が連続となるのは、''x''<sub>''n''</sub> → ''x'' なるとき常に ''f''(''x''<sub>''n''</sub>) → ''f''(''x'') が成り立つ場合に限る。
T1を満たす第一可算的空間では[[点列コンパクト空間|点列コンパクト性]]と[[可算コンパクト空間|可算コンパクト性]]は同値である。しかしながら、点列コンパクトな第一可算的空間で[[コンパクト空間|コンパクト]]でない例はある (それは距離空間でない必要がある)。そのような空間の例として[[順序数空間]] ω<sub>1</sub> = [0, ω<sub>1</sub>) がある。第一可算的空間は[[コンパクト生成空間]]である。
第一可算的空間の[[部分位相空間|部分空間]]は第一可算的である。第一可算的空間の可算個の[[直積位相空間|直積]]は第一可算的であるが、非可算個の積については必ずしもそうならない。
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