「ホモロジカルミラー対称性予想」の版間の差分

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'''ホモロジカルミラー対称性'''は、[[マキシム・コンツェビッチ]]により予想された[[数学]]の[[予想]]である。物理学者が[[弦理論]]を研究することにより初めて観察された[[ミラー対称性 (弦理論)|ミラー対称性]]と呼ばれる現象の数学的、系統的な説明求められている。
 
== 歴史 ==
1994年の[[チューリッヒ]]での[[国際数学者会議]]の報告で、コンツェビッチは次のような予想をした。
:[[カラビ-ヤウ多様体]]のペア X と Y のミラー対称性は、[[代数多様体]] X から構成された{{仮リンク|三角圏|en|triangulated category}} (X 上の[[連接層]]の[[導来圏]])と、もう一つの Y の[[シンプレクティック多様体]]から構成される三角圏({{仮リンク|深谷圏|en|Fukaya category}})の同値性として説明されるのではないか。
 
[[エドワード・ウィッテン]]は、最初に N = (2,2) の超対称性場の理論を位相的ツイストすることで、[[位相的弦理論]]のAモデルとBモデルと呼ばれるモデルを記述した。これらのモデルは、リーマン面から普通はカラビ-ヤウ多様体である固定された対象空間上への写像に関係する。数学でのミラー対称性予想の多くは、Y 上のA-モデルと X 上のB-モデルの物理的な同値関係と見なせる。リーマン面が境界を持たない場合は、ワールドシートが閉じた弦を表す。開いた弦については、超対称性を保存する境界条件を導入する必要がある。A-モデルでは、この境界条件として追加された構造(ブレーン構造と言う)を持った Y 上の[[シンプレクティック多様体#ラグランジアン部分多様体、あるいはその他の部分多様体|ラグランジアン部分多様体]]から導出される。B-モデルは、境界条件として X の上の正則(もしくは代数的)ベクトルバンドルを持つ部分多様体から導出される。これらは適当な[[圏論|圏]]を形成する対象で、AブレーンやBブレーンということもある。圏のモルフィズムは2つのブレーンの間に張られた開いた弦の無質量なスペクトルにより与えられる。
 
== 例 ==
少しの例しかこの予想を数学者証明できている例は、数がさほど多くない。コンツェビッチがセミナーで、ホモロジカルミラー対称性予想を、[[楕円曲線]]の場合には[[テータ函数]]を使うことで証明できるであろうと指摘した。この指摘に従い、{{仮リンク|アレクサンダー・ポリスチュック|en|Alexander Polishchuk}}と{{仮リンク|エリック・ザスロフ|en|Eric Zaslow}}は、楕円曲線についてのこの予想の証明をした。[[深谷賢治]]は、[[アーベル多様体]]についてのこの予想を証明する要素のいくつかを確立した。後日、コンツェヴィッチと{{仮リンク|ヤン・ソイベルマン|en|Yan Soibelman}}は、[[SYZ予想]]からのアイデアを使い、{{仮リンク|アフィン多様体 (微分幾何学)|en|affine manifold}}(affine manifold)上の非特異な{{仮リンク|トーラスバンドル|en|torus bundle}}についての予想の大半を証明した。2003年に、{{仮リンク|ポール・ザイデル|en|Paul Seidel}}は、{{仮リンク|四次曲面|en|quartic surface}}の場合の予想を証明した。{{harvtxt|Hausel|Thaddeus|2002}}は、SYZ予想の素描を、[[ヒッチン系]]と[[ラングランズ・プログラム|ラングランズ双対性]]の脈絡で説明した。
<!--==Examples==
Only in a few examples have mathematicians been able to verify the conjecture. In his seminal address, Kontsevich commented that the conjecture could be proved in the case of [[elliptic curve]]s using [[theta function]]s. Following this route, [[Alexander Polishchuk]] and [[Eric Zaslow]] provided a proof of a version of the conjecture for elliptic curves. [[Kenji Fukaya]] was able to establish elements of the conjecture for [[abelian varieties]]. Later, Kontsevich and [[Yan Soibelman]] provided a proof of the majority of the conjecture for nonsingular [[torus bundle]]s over [[affine manifold]]s using ideas from the [[SYZ conjecture]]. In 2003, Paul Seidel proved the conjecture in the case of the [[quartic surface]]. In 2002 {{harvtxt|Hausel|Thaddeus|2002}} explained SYZ conjecture in the context of Hitchin system and Langlands duality.-->
<!---In 1990-1991, {{harvs||txt| last1=Candelas | first1=Philip | last2=de la Ossa | first2=Xenia C. | last3=Green | first3=Paul S. | last4=Parkes | first4=Linda | year=1991}} had a major impact not only on enumetive algebraic geometry but on the whole mathematics and motivated to {{harvtxt|Kontsevich|1994}}. The quintic threefold in this paper has the following Hodge diamond.-->
 
== 関連 ==
*[[位相的場の理論]]
*[[圏論]]
*[[フレアーホモロジー]]
*{{仮リンク|深谷圏|en|Fukaya category}}(Fukaya category)
*[[導来圏]]
*[[クインティックスリーフォールド]]
}}
 
{{DEFAULTSORT:ほもろかるみらあたいしようせいよそう}}
 
[[Category:微分幾何学]]
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