「ガンマ関数」の版間の差分
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である。<math>s=re^{i\theta}</math>とすれば、同様にして
{{Indent|<math>\Gamma(z)=\frac{1}{e^{2{\pi}iz}-1}\int_Cs^{z-1}e^{-t}ds\qquad(z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z})</math>}}
を得る。また、[[
{{Indent|<math>\frac{1}{\Gamma(z)}=\frac{\sin{\pi}z}{\pi}\Gamma(1-z)=\frac{i}{2\pi}\int_C(-t)^{-z}e^{-t}dt\qquad(z\in\mathbb{C})</math>}}
を得る。
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== スターリングの公式 ==
{{main|スターリングの公式}}
<math>z \to \infty</math>での漸近展開として、ガンマ関数は[[スターリングの近似|スターリングの公式]]で近似される。この漸近近似は複素平面全体(負の実数を除く)で成立するが、<math>|{\arg z}|={\pi}</math>に近づくにつれ近似の誤差が大きくなる(極限の収束が遅くなる)ため、応用上は
{{Indent|<math>\Gamma(z+1)\approx\sqrt{2{\pi}z}\left(\frac{z}{e}\right)^z\qquad(|{\arg z}|<{\pi},|z|\gg0)</math><br />
<math>\lim_{z\to\infty}\frac{\Gamma(z+1)}{\sqrt{2{\pi}z}\left(\frac{z}{e}\right)^z}=1\qquad(|{\arg z}|<{\pi})</math>}}
89行目:
次の恒等式を'''オイラーの相半公式'''(reflection formula)という。
{{Indent|<math>\Gamma(z)\Gamma(1-z)=-z\Gamma(z)\Gamma(-z)=\frac{\pi}{\sin{{\pi}z}}</math>}}
'''相補公式'''とも呼ばれる{{sfn|神保|2003|loc=定理 5.15}}。
この恒等式はオイラーの乗積表示から得られる。
{{Indent|<math>\begin{align}
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*{{Cite book|和書|author={{仮リンク|エミール・アルティン|de|Emil Artin|en|Emil Artin}}|others=[[上野健爾]] 訳・解説|year=2002-10-25|title=ガンマ関数入門|series=はじめよう数学6|publisher=日本評論社|isbn=4-535-60846-6|url=http://www.nippyo.co.jp/book/1985.html|ref=アルティン2002}}
*{{Cite book|和書|author=小松勇作|authorlink=小松勇作|date=2004-03-15|title=特殊函数|edition=復刊|series=近代数学講座5|publisher=朝倉書店|isbn=978-4-254-11655-7|url=http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11655-7/|ref=小松2004}}
*{{cite book
|和書
|last1 = 神保
|first1 = 道夫
|year = 2003
|title = 複素関数入門
|series = 現代数学への入門
|url = https://www.iwanami.co.jp/.BOOKS/00/1/0068740.html
|publisher = 岩波書店
|isbn = 4-00-006874-1
|ref = harv
}}
*{{Cite book|和書|author=寺沢寛一|authorlink=寺沢寛一|date=1983-05-18|title=自然科学者のための数学概論|edition=増訂版|publisher=岩波書店|isbn=978-4-00-005480-5|url=http://www.iwanami.co.jp/.BOOKS/00/5/0054800.html|ref=寺沢1983}}
*{{Cite book|editor=Milton Abramowitz; Irene A. Stegun|date=1965-06-01|title=[[Abramowitz and Stegun|Handbook of Mathematical Functions: with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables]]|series=Dover Books on Mathematics|publisher=Dover Publications|isbn=0-486-61272-4|ref=Abramowitz&Stegun1965}}
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