「球対称」の版間の差分

en:Rotational invariance 17:07, 5 August 2015 および de:Radialsymmetrie 19:45, 11. Okt. 2015 の冒頭抄訳
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(en:Rotational invariance 17:07, 5 August 2015 および de:Radialsymmetrie 19:45, 11. Okt. 2015 の冒頭抄訳)
{{字引|date=2015年12月18日 (金) 18:16 (UTC)}}
{{hatnote|生物学における{{仮リンク|放射相称|en|radial symmetry}}(radial symmetry) とは異なる}}
'''球対称'''(きゅうたいしょう、{{lang-en-short|Spherical symmetry}})とは、[[極座標]]において物理量などが動径方向''r'' にのみ依存し、角度(θやφ)に依らないこと。
[[初等幾何学]]における幾何学的対象が'''球対称'''(きゅうたいしょう、{{lang-en-short|radial symmetric}}; 放射対称)あるいは'''回転不変'''(かいてんふへん、{{lang-en-short|rotational invariant}})であるとは、その対象が「任意の」[[回転変換]](すなわち、対象の中心を通る任意の軸に対する任意角度の回転)に対して不変となることをいう。従って、球対称な対象を記述するための[[基準系]]は(方向成分は関係してこないため)[[原点 (数学)|原点]]の取り方のみが重要である。[[SO(3)|三次元空間内の回転]]に関する場合のみを「球対称」(''spherical symmetry'') と呼ぶ場合もある。[[三次元空間]]内の[[立体]]で球対称なものは[[球体]]に限る(中身が詰まっていないものも許すならば、同心球面の合併も入る)。
 
[[数学]]において適当な[[内積空間]]上で定義された函数が回転不変あるいは[[球対称函数|球対称]](radial; 動径的)であるとは、その値が引数に対する任意の回転に関して不変となることを言う。例えば、函数 {{math|''f''(''x'', ''y'') {{=}} ''x''{{exp|2}} + ''y''{{exp|2}}}} は原点周りの平面回転の下で不変である。より一般に、空間 {{mvar|X}} 上の[[変換 (数学)|変換]]あるいはそのような写像の成す[[函数空間|写像空間]]上に作用する[[作用素]]に対しても、{{mvar|X}} における回転と両立する作用に関する意味で球対称性は定義できる。例えば二次元の[[ラプラス作用素]] {{math|Δ''f'' {{=}} ∂{{msub|xx}}''f'' + ∂{{msub|yy}}''f''}} は、任意の回転変換 {{mvar|r}} に対して {{math|''g''(''p'') {{=}} ''f''(''r''(''p''))}} となる任意の写像 {{mvar|g}} に対して {{math|(Δ''g'')(''p'') {{=}} (Δ''f'')(''r''(''p''))}} を満たす(つまり写像に対する回転は単にそのラプラシアンに対する回転になる)という意味において球対称である。
球対称なポテンシャルの例として、[[マフィンティンポテンシャル]]がある(→[[第一原理バンド計算]])。
 
[[物理学]]における[[場]]が球対称であるとき、放射状場 (radial field) などと呼ばれる。また物理的な系がその空間における向きに依らず同じ値を示すとき、そのラグランジアンは球対称になる。[[ネーターの定理]]によれば、物理的な系の(ラグランジアンに対する時間に関する積分の)[[作用 (物理学)|作用]]は回転不変であり、従って[[角運動量]]は保存される。
 
== 関連項目 ==
* [[等方性]]
* [[回転対称]]
* {{仮リンク|軸対称|en|Axial symmetry}}: 回転軸の周りでの回転対称性
 
{{sci-stub}}
 
{{DEFAULTSORT:きゆうたいしよう}}
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