「コーシー=シュワルツの不等式」の版間の差分

(rv. 複素で成り立たない)
== 証明に関する話題 ==
シュワルツの不等式の特徴的な証明の一つに、二次式とその判別式を用いるものがある。実際、<''x'', ''y''> なる内積を考えるとき、''t'' を実変数(あるいは任意の実定数)として
: <math>0 \le \langle x + t|\langle x,y\rangle|yty, x + t|\langle x,y\rangle|yty \rangle = \langle x, x \rangle + 2 |\mathrm{Re}\langle x, y \rangle|^2 t + |\langle x,y\rangle|^2 \langle y, y\rangle t^2</math>
は(内積の性質により)''t'' の如何にかかわらず成立する ''t'' の二次の絶対不等式となる。ゆえに、二次の絶対不等式に関してよく知られた事実により、この ''t'' に関する二次式の判別式の1/4
: <math> (|\mathrm{Re}\langle x, y \rangle |^2)^2 - \langle x, x\rangle \langle y, y \rangle |\langle x,y\rangle |^2</math>
は半負定値(非正)でなければならない。ここから適当な操作整理してシュワルツの不等式を得る。
 
同じように二次式の判別式を用いる少し異なった証明がある:この証明では実数 ''t'' と絶対値 1 の複素数 &lambda; について
 
別の観点に立った証明として、直交射影の概念を用いる以下のものがある:||''y''|| = 0 のときは、''x'' と ''y'' との内積が 0 になり、問題の不等式は自明な形で等号として成立する。 ||''y''|| &gt; 0 のときは、
: <math>t=\frac{\langle x,y,x\rangle}{\|y\|^2}</math>
に対して ''t y'' を ''x'' の ''y'' 方向への直交射影と見なすことができる。実際、この ''t'' について ''z'' := ''x'' - ''t y'' は ''y'' に直交している。
: <math> \|x-z\|^2 = \frac{\|x\|^2\|y\|^2-|\langle x,y \rangle|^2}{\|y\|^2}</math>
が非負であることよりコーシー=シュワルツの不等式が従う。さらに、''x'' と ''y'' とが線型従属のときかつそのときに限り ''z'' = ''x0'' であり、不等式において等号が成立することがわかる。
 
 
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