「コーシー=シュワルツの不等式」の版間の差分

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== 定理の内容といくつかの事実 ==
''x'' や ''y'' が[[実数|実]]または[[複素数|複素]][[内積空間]] (''X'', &ltlang;•, •&gtrang;) の元であるとき、
シュワルツの不等式は次のように述べられる:
:<math>|\langle x,y\rangle|^2 \leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle.</math>
左辺は内積 &ltlang;''x'', ''y''&gtrang; の[[絶対値]]の平方である。ここに、等号は ''x'' と ''y'' が[[線型従属]]であるとき、つまり ''x'', ''y'' のいずれか一方が 0 であるか、さもなくば一方が他方の適当なスカラー倍であるときであり、かつそのときに限る。内積の導くノルム ||''x''||<sup>2</sup> := &ltlang;''x'', ''x''&gtrang; を用いればこれは
: <math>|\langle x, y \rangle| \leq \Vert x\Vert\cdot\Vert y\Vert</math>
とも表せる。
 
コーシー・シュワルツの不等式の重要な帰結には、内積が2変数の関数と見て[[連続関数|連続]]であるということ、従って特にひとつのベクトル ''x'' を決めるごとに内積が一つの連続汎関数 &ltlang;''x'', &bull;&gtrang; あるいは &ltlang;&bull;, ''x''&gtrang; を定めるということである。さらに、ベクトル ''x'' に対して汎関数 ''x''<sup>*</sup>: ''y'' &rarr; &ltlang;''y'', ''x''&gtrang; を与える対応が等長作用素になっていることも従う。
 
また、この定理の系として[[内積空間|内積ノルム]]に関する[[三角不等式]]
 
== 証明に関する話題 ==
シュワルツの不等式の特徴的な証明の一つに、二次式とその判別式を用いるものがある。実際、&ltlang;''x'', ''y''&gtrang; なる内積を考えるとき、''t'' を実変数(あるいは任意の実定数)として
: <math>0 \le \langle x + tyt|\langle x,y\rangle|y, x + tyt|\langle x,y\rangle|y \rangle = \langle x, x \rangle + 2\mathrm{Re} |\langle x, y \rangle|^2 t + |\langle x,y\rangle|^2 \langle y, y\rangle t^2</math>
は(内積の性質により)''t'' の如何にかかわらず成立する ''t'' の二次の絶対不等式となる。ゆえに、二次の絶対不等式に関してよく知られた事実により、この ''t'' に関する二次式の判別式の1/4
: <math> (\mathrm{Re}|\langle x, y \rangle |^2)^2 - \langle x, x\rangle \langle y, y \rangle |\langle x,y\rangle |^2</math>
は半負定値(非正)でなければならない。ここから適当な操作整理してシュワルツの不等式を得る。
 
同じように二次式の判別式を用いる少し異なった証明がある:この証明では実数 ''t'' と絶対値 1 の複素数 &lambda; について
: &ltlang;''x''+ &lambda;''ty'', ''x''+ &lambda;''ty''&gtrang;
に対して同様の議論を行い、(Re&ltlang;''x'', &lambda;''y''&gtrang;)<sup>2</sup> &minus; &ltlang;x, x&gtrang;&ltlang;''y'', ''y''&gtrang; が半負定値であることが導かれる。適当な &lambda; について Re&ltlang;''x'', &lambda;''y''&gtrang; = |&ltlang;''x'', ''y''&gtrang;| となっているので定理の主張が得られる。
 
 
別の観点に立った証明として、直交射影の概念を用いる以下のものがある:||''y''|| = 0 のときは、''x'' と ''y'' との内積が 0 になり、問題の不等式は自明な形で等号として成立する。 ||''y''|| &gt; 0 のときは、
: <math>t=\frac{\langle y,x,y\rangle}{\|y\|^2}</math>
に対して ''t y'' を ''x'' の ''y'' 方向への直交射影と見なすことができる。実際、この ''t'' について ''z'' := ''x'' - ''t y'' は ''y'' に直交している。
: <math> \|z\|^2 = \frac{\|x\|^2\|y\|^2-|\langle x,y \rangle|^2}{\|y\|^2}</math>
が非負であることよりコーシー=シュワルツの不等式が従う。さらに、''x'' と ''y'' とが線型従属のときかつそのときに限り ''z'' = ''0'' であり、不等式において等号が成立することがわかる。
 
 
 
* [[ヘルダーの不等式]]
 
==脚注==
{{DEFAULTSORT:こししゆわるつのふとうしき}}
{{reflist}}
 
==参考文献==
* {{Cite book
| 和書
| last1 = 齋藤
| first1 = 正彦
| year = 1966
| title = 線型代数入門
| url = http://www.utp.or.jp/bd/4-13-062001-0.html
| series = 基礎数学1
| edition = 初版
| publisher = 東京大学出版会
| isbn = 978-4-13-062001-7
| ref = harv
}}
* {{Cite book
| 和書
| last = 黒田
| first = 成俊
| title = 関数解析
| series = 共立数学講座 15
| publisher = 共立出版株式会社
| year = 1980
| isbn = 978-4-320-01106-9
| ref = harv
}}
 
{{DEFAULTSORT:こしゆわるつのふとうしき}}
[[Category:不等式]]
[[Category:線型代数学]]
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