「コーシー＝シュワルツの不等式」の版間の差分

''x'' や ''y'' が[[実数|実]]または[[複素数|複素]][[内積空間]] (''X'', &ltlang;•, •&gtrang;) の元であるとき、

左辺は内積 &ltlang;''x'', ''y''&gtrang; の[[絶対値]]の平方である。ここに、等号は ''x'' と ''y'' が[[線型従属]]であるとき、つまり ''x'', ''y'' のいずれか一方が 0 であるか、さもなくば一方が他方の適当なスカラー倍であるときであり、かつそのときに限る。内積の導くノルム ||''x''||² := &ltlang;''x'', ''x''&gtrang; を用いればこれは

コーシー・シュワルツの不等式の重要な帰結には、内積が2変数の関数と見て[[連続関数|連続]]であるということ、従って特にひとつのベクトル ''x'' を決めるごとに内積が一つの連続汎関数 &ltlang;''x'', •&gtrang; あるいは &ltlang;•, ''x''&gtrang; を定めるということである。さらに、ベクトル ''x'' に対して汎関数 ''x''^*: ''y'' → &ltlang;''y'', ''x''&gtrang; を与える対応が等長作用素になっていることも従う。

シュワルツの不等式の特徴的な証明の一つに、二次式とその判別式を用いるものがある。実際、&ltlang;''x'', ''y''&gtrang; なる内積を考えるとき、''t'' を実変数（あるいは任意の実定数）として

: <math>0 \le \langle x + tyt|\langle x,y\rangle|y, x + tyt|\langle x,y\rangle|y \rangle = \langle x, x \rangle + 2\mathrm{Re} |\langle x, y \rangle|^2 t + |\langle x,y\rangle|^2 \langle y, y\rangle t^2</math>

は（内積の性質により）''t'' の如何にかかわらず成立する ''t'' の二次の絶対不等式となる。ゆえに、二次の絶対不等式に関してよく知られた事実により、この ''t'' に関する二次式の判別式の1/4

: <math> (\mathrm{Re}|\langle x, y \rangle |^2)^2 - \langle x, x\rangle \langle y, y \rangle |\langle x,y\rangle |^2</math>

は半負定値（非正）でなければならない。ここから適当な操作れを施整理してシュワルツの不等式を得る。

: &ltlang;''x''+ &lambda;''ty'', ''x''+ &lambda;''ty''&gtrang;

に対して同様の議論を行い、(Re&ltlang;''x'', &lambda;''y''&gtrang;)² &minus; &ltlang;x, x&gtrang;&ltlang;''y'', ''y''&gtrang; が半負定値であることが導かれる。適当な &lambda; について Re&ltlang;''x'', &lambda;''y''&gtrang; = |&ltlang;''x'', ''y''&gtrang;| となっているので定理の主張が得られる。

: <math>t=\frac{\langle y,x,y\rangle}{\|y\|^2}</math>

が非負であることよりコーシー＝シュワルツの不等式が従う。さらに、''x'' と ''y'' とが線型従属のときかつそのときに限り ''z'' = ''0'' であり、不等式において等号が成立することがわかる。