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{{redirect|素因子|環論における素因子|素因子 (環論)|代数幾何学における素因子|因子 (代数幾何学)}}
数学において、ある自然数の'''素因数'''（そいんすう、{{lang-en-short|prime factor}}）とは、[[自然数]]の内、ある自然数その[[約数]]になる[[素数]]のことである。ある数の素因数を求めてその積の形で表すことを[[素因数分解]]という。例えば 60 は 2<sup>2</sup>×3×5 と素因数分解されるので 60 の相異なる素因数は 2, 3, 5 の 3 つである。また、7 は素数であるため素因数分解できず、7 の素因数は 7 自身のみとなる。素因数のことを'''素因子'''（そいんし）、素因数分解のことを素因子分解ということもある。
 
2 つの自然数が[[互いに素]]であることと、2つの自然数が共通の素因数を持たないことは[[同値]]である。なお [[1]] は素因数を持たない数であり、したがって 1 は全ての（1 自身を含めた）自然数と互いに素である。
 
自然数の素因数分解の結果は、素因数を掛ける順番の違いを除けば一意的に決まる。この事実は[[算術の基本定理]]と呼ばれている。
 
[[スミス数]]は自然数であって、その素因数の数字の和と各桁の数字の和が等しい数のことである。また、[[ルース＝アーロン・ペア]]は連続する自然数の組であって、それぞれの素因数の和が互いに等しいような二数のことである。
 
==素因数の個数==
自然数 {{mvar|n}} の'''相異なる素因数の個数'''を与える[[関数 (数学)|関数]]を <math>{\{math|''&omega;''(''n'')}</math>} と表記し、{{mvar|n}} の'''重複も含めた素因数の総数'''を与える関数を <math>{\{math|&Omega;(''n'')}</math>} と表記する。{{mvar|n}} が▼
:<math>n = \prod_{i=1}^{k} p_i^{\alpha_i} = p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\dotsm p_k^{\alpha_k}</math>
（ただし {{math|''p''<sub>1</sub>}}, {{math|''p''<sub>2</sub>}}, ..., {{math|''p''<sub>''k''</sub>}} は相異なる素数、{{math|''&alpha;''<sub>1</sub>}}, ..., {{math|''&alpha;''<sub>''k''</sub>}} は {{math|1}} 以上の整数） と素因数分解されるとき、
:<math>\omega(n)=k,</math>
:<math>\Omega(n) = \sum_{i=1}^{k} \alpha_i = \alpha_1+\dotsb+\alpha_k</math>
である。例えば、{{math|1=60 = 2<sup>2</sup>・3・5}} であるから、{{math|1=''&omega;''(60) = 3}}, {{math|1=&Omega;(60) = 2 + 1 + 1 = 4}} である。
 
素因数は {{math|2}} 以上であるから
▲{{mvar|n}} の'''相異なる素因数の個数'''を与える[[関数 (数学)|関数]]を <math>{\omega(n)}</math> と表記し、{{mvar|n}} の'''重複も含めた素因数の総数'''を与える関数を <math>{\Omega(n)}</math> と表記する。
:<math>\Omega(n)\leq \log n/\log 2</math>
 
明らかにが任意の <math>\Omega({{mvar|n)\leq}} \log n/\log 2</math> であに対して成り立ち、等号はちょうど {{mvar|n}} が[[2の冪乗]]であるときに成り立つ。▼
<math>p_1, p_2, \ldots, p_k</math> が相異なる素数で、<math>n = \prod_{i=1}^{k} p_i^{\alpha_i}</math> と素因数分解されるとき、<math>\omega(n)=k</math> であり、 <math>\Omega(n) = \sum_{i=1}^{k} \alpha_i</math> である。例えば、<math>\omega(60)=3, \Omega(60)=2+1+1=4</math> である。
 
 
▲明らかに <math>\Omega(n)\leq \log n/\log 2</math> であり、等号はちょうど {{mvar|n}} が[[2の冪乗]]であるときに成り立つ。
 
また、{{math|''ω''(''n'')}} の増加の割合は以下の式で表される。
{{Indent|:<math>\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{\omega(n) \log\log n}{\log n}=1.</math>}}
 
より厳密には、以下の式が成り立つ{{sfn|Robin|1983}}。
 
{{Indent|:<math>\begin{align}
\omega(n) &\leq 1.38402\,\frac{\log n}{\log\log n} &(n\geq 3),</math>}}\\
{{Indent|<math>\omega(n) &\leq \frac{\log n}{\log\log n}+1.45743\,\frac{\log n}{(\log\log n)^2} &(n\geq 3),</math>}}\\
{{Indent|<math>\omega(n) &\leq \frac{\log n}{\log\log n-1.1714} &(n\geq 26).</math>}}
\end{align}</math>
 
== 注釈 ==
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