「コーシー＝シュワルツの不等式」の版間の差分

: ⟨''x''+ λ''ty'', ''x''+ λ''ty''⟩

に対して同様の議論を行い、(Re⟨''x'', λ''y''⟩)² − ⟨x, x⟩⟨''y'', ''y''⟩ が半負定値であることが導かれる。適当な λ について Re⟨''x'', λ''y''⟩ = |⟨''x'', ''y''⟩| となっているので定理の主張が得られる。

 

別の観点に立った証明として、直交射影の概念を用いる以下のものがある：||''y''|| = 0 のときは、''x'' と ''y'' との内積が 0 になり、問題の不等式は自明な形で等号として成立する。 ||''y''|| > 0 のときは、

: <math> \|z\|^2 = \frac{\|x\|^2\|y\|^2-|\langle x,y \rangle|^2}{\|y\|^2}</math>

が非負であることよりコーシー＝シュワルツの不等式が従う。さらに、''x'' と ''y'' とが線型従属のときかつそのときに限り ''z'' = 0 であり、不等式において等号が成立することがわかる。

 

標準内積に関する内積空間と考えたときの[[ユークリッド空間]] '''R'''^''n'' の場合に書き下すと、

というのがシュワルツの不等式を表している式である。これらは[[ヘルダーの不等式]]に一般化される。

 

 

==脚注==

 

==参考文献==

* {{Cite book

| 和書

| title = 線型代数入門

| url = http://www.utp.or.jp/bd/4-13-062001-0.html

| publisher = 東京大学出版会

| isbn = 978-4-13-062001-7

}}

 

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