「コーシー=シュワルツの不等式」の版間の差分

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: ⟨''x''+ λ''ty'', ''x''+ λ''ty''⟩
に対して同様の議論を行い、(Re&lang;''x'', &lambda;''y''&rang;)<sup>2</sup> &minus; &lang;x, x&rang;&lang;''y'', ''y''&rang; が半負定値であることが導かれる。適当な &lambda; について Re&lang;''x'', &lambda;''y''&rang; = |&lang;''x'', ''y''&rang;| となっているので定理の主張が得られる。
 
 
別の観点に立った証明として、直交射影の概念を用いる以下のものがある:||''y''|| = 0 のときは、''x'' と ''y'' との内積が 0 になり、問題の不等式は自明な形で等号として成立する。 ||''y''|| &gt; 0 のときは、
: <math> \|z\|^2 = \frac{\|x\|^2\|y\|^2-|\langle x,y \rangle|^2}{\|y\|^2}</math>
が非負であることよりコーシー=シュワルツの不等式が従う。さらに、''x'' と ''y'' とが線型従属のときかつそのときに限り ''z'' = 0 であり、不等式において等号が成立することがわかる。
 
 
 
標準内積に関する内積空間と考えたときの[[ユークリッド空間]] '''R'''<sup>''n''</sup> の場合に書き下すと、
というのがシュワルツの不等式を表している式である。これらは[[ヘルダーの不等式]]に一般化される。
 
== 関連項目 ==<!--項目の50音順-->
{{Div col}}
* [[オーギュスタン=ルイ・コーシー]]
* [[ヴィクトーマンアマンドゥブニャコフ・シュワルツキー]]
* [[ヴィクトギュスタン=ブニャフスキーシー]]
*[[オットー・ヘルダー]]
* [[不等式]]
* [[三角不等式]]
* [[ヘルダーの不等式]]
*[[ヘルダーの不等式]]
*[[ヘルマン・アマンドゥス・シュワルツ]]
{{Div col end}}
 
==脚注==
{{reflist脚注ヘルプ}}
{{reflist|2}}
 
==参考文献==
* {{Cite book
| 和書
| last1author = 齋藤[[黒田成俊]]
| first1date = 正彦1980-11-01
| yeartitle = 1966関数解析
| series = 共立数学講座 15
| publisher = 共立出版株式会社
| isbn = 978-4-320-01106-9
| ref = {{harvid|黒田|1980}}
}}
* {{Cite book
| 和書
| author = [[齋藤正彦]]
| date = 1966-03-31
| title = 線型代数入門
| url = http://www.utp.or.jp/bd/4-13-062001-0.html
| publisher = 東京大学出版会
| isbn = 978-4-13-062001-7
| ref = harv{{harvid|齋藤|1966}}
}}
* {{Cite book
| 和書
| last = 黒田
| first = 成俊
| title = 関数解析
| series = 共立数学講座 15
| publisher = 共立出版株式会社
| year = 1980
| isbn = 978-4-320-01106-9
| ref = harv
}}
 
== 外部リンク ==
{{DEFAULTSORT:こおしいしゆわるつのふとうしき}}
*{{Kotobank|シュワルツの不等式|2=ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典}}
[[Category:不等式]]
*{{MathWorld|title=Cauchy's Inequality|urlname=CauchysInequality}}
[[Category:線型代数学]]
*{{MathWorld|title=Schwarz's Inequality|urlname=SchwarzsInequality}}
 
{{DEFAULTSORT:こおしいしゆわるつのふとうしき}}<!--カテゴリの50音順-->
[[Category:関数解析学]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:不等式線型代数学]]
* [[Category:不等式]]