「無限次元空間における不動点定理」の版間の差分

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[[数学]]において、{{仮リンク|[[ブラウワーの不動点定理|en|Brouwer fixed-point theorem}}]]の一般化である'''無限次元空間における不動点定理'''(むげんじげんくうかんにおけるふどうてんていり、{{Lang-en-short|Fixed-point theorems in infinite-dimensional spaces}})は数多く存在する。それらは例えば、[[偏微分方程式]]の[[存在定理]]の証明に応用される。
 
この分野における第一の結果は、1930年に{{仮リンク|ユリウス・シャウダー|en|Juliusz Schauder}}によって証明された[[シャウダーの不動点定理]]である(別の流派におけるそれ以前の結果として、1922年に証明された[[完備距離空間]]における[[縮小写像]]に対する[[バナッハの不動点定理]]がある)。これ以降、多くの結果が証明された。この種の不動点定理が数学の分野全体に多大な影響を持つこととなった一つの理由は、有限の[[単体的複体]]に対してはじめに証明される[[代数的位相幾何学]]の手法を、無限次元の空間に対して拡張することの出来る手法の存在であった。例えば、[[層 (数学)|層論]]を発見した{{仮リンク|ジャン・ルレイ|en|Jean Leray}}の研究は、シャウダーの業績を拡張することから始まった。
 
<blockquote>'''{{仮リンク|[[シャウダーの不動点定理|en|Schauder fixed-point theorem}}]]:''' ''C'' を、[[バナッハ空間]] ''V'' の[[空集合|空でない]][[閉集合|閉]][[凸集合|凸]]部分集合とする。''f'' : ''C'' → ''C'' が[[コンパクト空間|コンパクト]]な像を持つ[[連続写像|連続函数]]であるなら、''f'' は不動点を持つ。</blockquote>
 
<blockquote>'''チホノフの不動点定理:''' ''V'' を[[局所凸位相ベクトル空間]]とし、''V'' 内の空でない任意のコンパクト凸集合 ''X'' に対して、任意の函数 ''f'' : ''X'' → ''X'' は不動点を持つ。</blockquote>
 
その他の結果として、[[マルコフ=角谷の不動点定理]](1936-1938)や、コンパクト凸集合の連続自己アフィン写像に対する{{仮リンク|[[リル=ナウゼウスキの不動点定理|en|Ryll-Nardzewski fixed-point theorem}}]](1967)、開領域の正則自己写像に対する{{仮リンク|アール=ハミルトンの不動点定理|en|Earle-Hamilton fixed-point theorem}}(1968)などがある。
 
<blockquote>'''{{仮リンク|[[角谷の不動点定理|en|Kakutani fixed point theorem}}]]:''' 局所凸空間のコンパクトな凸部分集合からそれ自身への写像で、像が閉グラフかつ凸で空でないようなすべての対応は、不動点を持つ。</blockquote>
 
== 関連項目 ==
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