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{{出典の明記|date=2016年3月}}
'''空集合'''(くうしゅうごう、{{lang-en-short|empty set}})は、元を一切持たない集合の事である。通常は記号 &empty; または <math>\emptyset</math>、 {} で表す。[[ギリシャ文字]]φ, Φ(ファイ)で表すのは誤り。
'''空集合'''(くうしゅうごう、{{lang-en-short|empty set}})は、元を一切持たない集合の事である。[[公理的集合論]]において、空集合は[[空集合の公理|公理]]として存在を仮定される場合と、他の公理から存在が導かれる場合がある。空集合を表す記号として、&empty; または <math>\emptyset</math>、 {} がある。記号 &empty; はノルウェー語等で用いられるアルファベット [[&Oslash;]] に由来しており、形の似ている[[ギリシャ文字]]φ, Φ(ファイ)とは全く関係がない。
 
 
== 概要 ==
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== 性質 ==
* 全ての集合は空集合を[[部分集合]]として含む:任意の集合 ''A'' に対し、&empty; ⊆ ''A'' である。何故なら、任意の集合 ''A'' に対し、命題「<math>\forall x : x \in \varnothing \Longrightarrowimplies x \in A</math>」は常に真だからである([[:en:Vacuous truth]] 参照)。特に <math>A=\varnothing</math> とすれば、<math>\varnothing \subseteq \varnothing</math> が成り立つことも分かる。
* どんなものであれ、空集合に元として含まれることはない。
::<math>({}^{\forall} x)[, x \innotin \varnothing] \equiv {\rm false}.</math>
* 空集合の部分集合は空集合自身のみである。
::<math>({}^{\forall}A)[A \subsetsubseteq \varnothing\ \Longrightarrow\implies A=\varnothing].</math>
* 空集合の[[濃度 (数学)|元の数]]は0である。
::|&empty;| = 0.
* どんな集合 ''A'' についても、''A'' と空集合 &empty; の[[合併 (集合論)|和集合]]は ''A'' に等しく、''A'' と &empty; の[[共通部分 (数学)|共通部分]], [[カルテジアン集合の直積|直積]]は &empty; に等しい:
::''A'' ∪ &empty; = ''A'', ''A'' ∩ &empty; = &empty;, ''A'' &times; &empty; = &empty; = &empty; &times; ''A''.
* 空集合を[[定義域]]とする[[写像]]は、[[終域]]を定めるごとに唯1つ定まり、且つ[[単射]]である。特に、終域も空集合である場合は[[全単射]]となる([[空写像]]の項を参照)。