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12行目: 上のような定義域に関する制限は、[[閉作用素\|閉]][[非有界作用素\|非有界]]線形作用素の存在があるために必要となる。<math>C([0,1])</math> 上の[[微分作用素]]が典型的な反例である。閉グラフ定理の一般的な証明には[[開写像定理 (関数解析)\|開写像定理]]が用いられる。実際、閉グラフ定理、開写像定理および~~{{仮リンク\|有界逆定理\|en\|bounded inverse theorem<!--~~ [[~~:ja:~~有界逆写像定理]] ~~とリンク -->\|FIXME=1}}~~はすべて[[同値]]である。この同値性はまた ''X'' および ''Y'' がバナッハ空間であることの必要性を明示するために役に立つ; 例えば、コンパクト・サポートを持つような連続関数や、あるいは上極限ノルムを備えた有限個の非ゼロな元からなる列を用いることで、有界な逆を持つような線形作用素を構成することが出来る。閉グラフ定理は次のように書き換えることも出来る。もし {{nowrap\|''T'' : ''X'' → ''Y''}} がバナッハ空間の間の線形作用素なら、次の二つは同値である:

「閉グラフ定理」の版間の差分