「凸関数」の版間の差分

en:Convex function#Definition 2016 May 14(Sat) 19:33(UTC)を翻訳・加筆
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{{math|−''f''}} が凸関数のとき、{{mvar|f}} を'''凹関数'''(おうかんすう、{{en|[[:en:Concave function|concave function]]}})と呼ぶ。凸関数を「下に凸な関数」、凹関数を「上に凸な関数」と称することもある。
 
== 定義 ==
<math>X</math>をある実ベクトル空間内の凸集合として、fを{{math|''f'' : ''X'' → '''R'''}}となる関数とする。
* この時{{mvar|f}}は次の条件を満たせば'''凸'''であるといえる。
::<math>\forall x_1, x_2 \in X, \forall t \in [0, 1]: \qquad f(tx_1+(1-t)x_2)\leq t f(x_1)+(1-t)f(x_2).</math>
* また、fが'''狭義の凸'''{{mvar|f}}となる条件は次のとおり。
::<math>\forall x_1 \neq x_2 \in X, \forall t \in (0, 1): \qquad f(tx_1+(1-t)x_2) < t f(x_1)+(1-t)f(x_2).</math>
*関数{{math|−''f''}}が(狭義の)凸である時、{{mvar|f}}は(狭義の) [[凹関数|凹]]([[:en:Concave function|英語版]])であるという。
 
== 凸関数の性質 ==