「群の直和」の版間の差分

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[[数学]]における[[群 (数学)|群]]の'''直和'''(ちょくわ、{{lang-en-short|''direct sum''}})は、与えられた群のあつまりからより大きな群を作り出す構成法の一つであり、また与えられた群をその特定の性質を満たす部分群によって表す方法の一つである。[[抽象代数学]]において、この構成法は[[ベクトル空間]]、[[環上の加群|加群]]、そして他の構造の直和に一般化することができる。より多くの情報は記事[[加群の直和]]を見よ。
 
有限個の群の直和(有限直和)は[[群の直積]]に本質的に同一の概念となる一方で、無限個の群の直和(無限直和)は直積とは必ずしも同型にならないため、直和と直積の区別は無限直和において本質的である。無限直和は制限直積とも呼ばれる。群の直和が[[圏論]]的[[余積|直和(双対直積)]]ではないことに注意せよ(群の直積の圏論的双対は{{仮リンク[[自由積|群の自由積|en|free product}}]]である)。
 
しばしば、考える群が[[加法群|加法的]]に書かれたアーベル群であるときの群の直積という意味で「直和」と呼び、アーベル群 {{math|''A'', ''B''}} のその意味での直和を({{math|''A'' × ''B''}} と書く代わりに) {{math|''A'' ⊕ ''B''}} で表すことがある。
与えられた群 {{mvar|G}} の部分群 {{mvar|H}} が {{mvar|G}} の'''直和成分''' (direct summand) である(あるいは {{mvar|G}} から'''分裂する''' (split))とは、別の部分群 {{math|''K'' ≤ ''G''}} が存在して {{mvar|G}} は部分群 {{mvar|H}} と {{mvar|K}} の直和に書けるときにいう。
 
アーベル群の場合には、{{mvar|H}} が {{mvar|G}} の{{仮リンク|[[可除群|label=可除部分群|en|Divisible group}}]]ならば {{mvar|H}} は {{mvar|G}} の直和成分となる。
 
===直和分解の等価性===
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