「ヘモレオロジー」の版間の差分

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心臓の拍動をシミュレートするために[[正弦波]]形で変化する流れを仮定する。粘弾性体が時間変化する流れに晒され、その位相 <math>\{{mvar|&phi</math>;}} は <math>\{{mvar|&tau</math>;}} と <math>\{{mvar|&gamma</math>;}} の間で変動する。<{{math>\|1=''&phi;'' = 0</math>}} の時は応力と歪みの位相が同じであるため純粋な弾性体であり、 <{{math>\|1=''&phi</math>;'' = 90°}} の時は歪みの位相が応力に対し90°遅れているため、純粋な粘性体である。粘弾性体の位相は0°から90°の間のいずれかである。

正弦波で表される時間変化は <math> {{mvar|e^{sup|{i \&omega ;t}</math>}}} に比例する。故に応力、歪み、剪断速度はそれぞれ、 <math>{{mvar|f</math>}} を周波数、角周波数を <{{math>\|1=''&omega;'' = 2 \''&pi ;f</math>''}} として、以下のように記述される。

:::剪断応力: <math>\tau^* = \tau e ^{-i \phi}</math>

:::剪断速度: <math>\dot {\gamma}^* = \dot \gamma e^{-i0}</math>

ここで <{{math>\|''&tau;'</math>'&prime;}} は粘性応力、<{{math>\|''&tau;''</math>&prime;&prime;}} は弾性応力である。

複素粘性率 <math>\eta^*</math> は複素剪断応力と複素剪断速度の比を取ることで得られる：<ref>T. How, ''Advances in Hemodynamics and Hemorheology,'' Vol. 1, JAI Press LTD., 1996, 1-321–32.</ref>

:::<math> \eta^*= \frac {\tau^*} {\dot {\gamma}^*} = ( \frac {\tau'}{\dot {\gamma}}+i \frac{\tau''}{\dot {\gamma}})=\eta'+i\eta'' </math>

同様に、 複素動的弾性率 {{mvar|G}} は複素剪断応力と複素剪断歪みの比を取ることで得られる。

:::<math>G = \frac {\tau^*} {\gamma^*}=( \frac {\tau''}{\gamma}+i \frac{\tau'}{\gamma})</math>

複素貯蔵弾性率を {{math|''G''&prime;}}, 、複素損失弾性率を {{math|''G"''&prime;&prime;}} とすると、

:::<math> \eta^*=\frac {\eta_\text{dash}} {1+i \omega(\frac{\eta_\text{dash}}{E_\text{spring}})} = \eta'-i\eta'' </math>

血液の粘弾性の構成モデルとしてよく用いられるものの一つに Oldroyd-B モデルがある。低剪断速度における赤血球の凝集と分散による剪断減粘性を特徴付けるOldroyd-Bの非ニュートン流体モデルには様々なバリエーションがある。ここでは運動量方程式、全応力テンソルと組み合わせた3次元の Oldroyd-B モデルを考える<ref>R. Bird, R. Armstrong, O. Hassager, Dynamics of Polymeric Liquids; Fluid Mechanic, 1987, 2, 493 - 496493–496</ref>。血液の粘性 <{{math>\|''&mu;''(''h'', ''d'')</math>}} が血管の半径 {{mvar|d}} とヘマトクリット {{mvar|h}} の関数で表される非ニュートン流体を仮定する。Oldroyd-B モデルでは剪断応力テンソル B と配向応力テンソル A の関係が以下の様に与えられる：

ここで <{{math>|''D''/''Dt</math>''}} は[[物質微分]]、<math>{{mvar|V</math>}} は流体の速度、<{{math>C_1</|''C''{{sub|1}}}}, {{math>、<math>C_2</math>、<math>|''C''{{sub|2}}}}, {{mvar|g</math>、<math>\}}, {{mvar|&gamma</math>;}} は定数である。<math>{{mvar|S</math>}} と <math>{{mvar|B</math>}} は次のように定義される:

<{{math>T_s|''T{{sub|s}}''(''t'')</math>}} は単位ビーズの体積あたりの力学的[[トルク]]であり、以下の式で与えられる：

ここで {{mvar|H}} は与えられたねじれ[[磁場]]であり、<math>{\{mvar|&theta;}}</math> は元の磁化方向に対するビーズの[[磁気モーメント]]の角度、そして {{mvar|c}} はビーズを粘度が既知の流体中に置きねじれ磁場をかけることにより求められる定数である。

複素動的弾性率 {{mvar|G}} を用いて応力歪み関係を表すと、

:::貯蔵弾性率： <math> G' = \frac {\sigma_0} {\varepsilon_0} \cos \phi </math>

:::損失弾性率： <math> G'' = \frac {\sigma_0} {\varepsilon_0} \sin \phi </math>

<{{math>\sigma_0</math>|''&sigma;''{{sub|0}}}} と <{{math>\varepsilon_0</math>|''&epsilon;''{{sub|0}}}} は応力と歪みの大きさを表し、<math>\{{mvar|&phi</math>;}} は位相差である。

以上より、位相角 <math>\{{mvar|&phi</math>;}} 、貯蔵弾性率、損失弾性率が以下のように求められる：

: 全ての剪断速度で粘度が一定であるモデル。このモデルは高い剪断速度 (<math>\dot{\gamma} > 700\, s^{-1}</math>) かつ血管径が血球より遥かに大きい場合において適用可能である<ref name=Fung-MechProps>{{cite book|last=Fung|first=Y.C.|title=Biomechanics: mechanical properties of living tissues|year=1993|publisher=Springer|location=New York, NY|isbn=9780387979472|edition=2. ed.}}</ref>。

:<math> \mu_a = {{\mu_0} \times {(1+kH)}} </math>

:<math> {\tau}^{0.5} = {{a}{|\gamma|}^{0.5} + b^ {0.5}} </math>

:<math> \mu_a = {{\mu_0} {{(1-0.5kH)}^{-2}}} </math>

:<math> k = {\frac{k_0 + k_\infty \gamma_r^{0.5} } \over {1+\gamma_r^{0.5}}} </math>

:<math> \gamma_r = {\frac{\gamma} \over {\gamma_c}} </math>