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'''フィルター''' (<em lang="en">filter</em>) とは[[半順序集合]]の特別な[[部分集合]]のことである。実際には半順序集合として、特定の集合の[[冪集合]]に包含関係で順序を入れた物が考察されることが多い。フィルターが初めて用いられたのは一般[[位相幾何学]]の研究であったが、現在では[[順序理論]]や[[束論|束]]の理論でも用いられている。順序理論的な意味でのフィルターの双対概念は[[:en:ideal (order theory)|イデアル]]である。
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=== 一様空間におけるフィルター ===
''F'' を[[一様空間]] ''X'' の上のフィルターとするとき、''X'' のどんな近縁<!-- entourage --> ''U'' についても ''A'' ∈ ''F'' が存在して ''x'', ''y'' ∈ ''A'' ならば (''x'', ''y'') ∈ ''U'' となっているとき、''F'' は'''コーシーフィルター'''だと言われる。''X'' が[[距離空間]]の場合には、この条件は
:<math> \forall \epsilon > 0 \ \ \exists A \in F \ \ \mathrm{diam}(A) < \epsilon </math>
と定式化できる。任意のコーシーフィルターが収束しているとき ''X'' は[[完備]]だと言われる。
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(Mihara, 1997<ref name=Mihara1997>{{cite doi | 10.1007/s001990050157}}</ref>,
1999<ref name=Mihara1999>{{cite doi | 10.1016/S0304-4068(98)00061-5}}</ref>)。
== 参考文献 ==▼
<references/>▼
== 関連項目 ==
* [[フィルトレーション (抽象代数)]]
* [[イデアル (束論)]]
▲== 参考文献 ==
▲<references/>
{{DEFAULTSORT:ふいるたあ}}
[[Category:順序構造]]
[[Category:位相幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]
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