「単調写像」の版間の差分
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英語版の表記に合わせました。また、様々な呼称が存在することから，「広義」「狭義」のどちらかに括弧を付けて一般的であるように見せることを避けました。 |
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{{出典の明記|date=2012年9月26日 (水) 05:40 (UTC)}}
'''単調写像'''（たんちょうしゃぞう、{{lang-en-short|monotonic function, monotone function}}）とは、単調性、すなわち[[順序集合]]の間の写像が順序を保つような性質を持つ[[写像]]のことである。具体的な例としては以下の'''単調増加関数'''および'''単調減少関数'''がある。
'''単調増加'''（たんちょうぞうか、{{lang-en-short|monotonically increasing}}）とは、狭義には[[実数]]の値を持つ[[関数 (数学)|関数]] {{mvar|f}} が、{{mvar|x}} の増加につれて常に関数値 {{math|''f''(''x'')}} も増加することをいい、このような性質を持つ関数を'''単調増加関数'''（たんちょうぞうかかんすう、{{lang-en-short|monotonically increasing function}}）と呼ぶ。同様に、引数 {{mvar|x}} の増加につれて関数値 {{math|''f''(''x'')}} が常に減少することを'''単調減少'''（たんちょうげんしょう、{{lang-en-short|monotonically decreasing}}）といい、そのような性質を持つ関数を'''単調減少関数'''（たんちょうげんしょうかんすう、{{lang-en-short|monotonically decreasing function}}）と呼ぶ。従って、連続な単調増加関数 {{math|''f''(''x'')}} を縦軸、その引数 {{mvar|x}} を横軸にとった[[グラフ]]上の[[曲線]]は常に右肩上りで、右肩下がりになっている部分がない。逆に単調減少関数の場合には、常に右肩下がりであり右肩上がりの部分がない。
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== 単調性 ==
実数から実数への関数 <math>f</math> が
: <math>x \le y</math> (より簡明に <math>x < y</math>) ならば <math>f(x) \le f(y)</math>▼
: <math>x < y</math> ならば <math>f(x) < f(y)</math>
をみたすとき、<math>f</math> は
▲をみたすとき、<math>f</math> は(狭義)単調増加するという。また、
▲: <math>x < y</math> ならば <math>f(x) \le f(y)</math>
▲をみたすとき、<math>f</math> は広義単調増加するという。<math>f(x)</math> と <math>f(y)</math> の間の不等号の向きを逆にすることで単調減少の定義が得られる。文脈によって明らかなときは「広義」/「狭義」を省略することも多い。広義単調増加のことを「単調非減少」と呼ぶこともある。
上記の単調性の定義は[[定義域]]と[[値域]]が実数全体の集合でなくても(半)[[順序集合]]一般で意味を持つ。この場合、単調増加する写像は[[準同型|順序を保つ]]写像 ({{lang-en-short|order-preserving, isotone}}) であると言い替える事ができ、単調減少する写像は順序を逆にする写像 ({{lang-en-short|order-reversing, antitone}}) であると言い替える事ができる。
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