「ヒルベルト空間」の版間の差分

 

 

ヒルベルト空間論の多くの場面で、幾何学的直観は重要である。例えば、[[ピタゴラスの定理|三平方の定理]]や[[中線定理]]（の厳密な類似対応物）は、ヒルベルト空間においても成り立つ。より深いところでは、部分空間への直交射影（例えば、三角形に対してその「高さを潰す」操作の類似対応物）は、ヒルベルト空間論における最適化問題やその周辺で重要である。ヒルベルト空間の各元は、平面上の点がそのデカルト座標（直交座標）によって特定できるのと同様に、[[座標軸]]の集合（[[正規直交基底]]）に関する座標によって一意的に特定することができる。このことは、座標軸の集合が[[可算無限]]であるときには、ヒルベルト空間を[[ルベーグ空間|自乗総和可能]]な[[列 (数学)|無限列]]の集合と看做すことも有用であることを意味する。ヒルベルト空間上の[[線型作用素]]は、ほぼ具体的な対象として扱うことができる。条件がよければ、空間を互いに直交するいくつかの異なる要素に分解してやると、線型作用素はそれぞれの要素の上では単に拡大縮小するだけの変換になる（これはまさに線型作用素の[[スペクトル論|スペクトル]]を調べるということである）。

 

=== 定義 ===

を満たすものが存在することをいう。条件の 1 と 2 を併せると、複素内積は第二引数に関して反線型 {{lang|en|(antilinear)}} となることが従う。即ち、

:<math>\langle x, ay_1+by_2\rangle = \bar{a}\langle x, y_1\rangle + \bar{b}\langle x, y_2\rangle</math>

 

:<math>\|x\| := \sqrt{\langle x,x \rangle}</math>

:<math>d(x,y):=\|x-y\| = \sqrt{\langle x-y,x-y \rangle}</math>

:<math>d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)</math>

<!--[[File:Triangle inequality in a metric space.svg|300px|center]]-->

三つ目の性質は、突き詰めればより基本的な[[コーシー・シュヴァルツの不等式]]

:<math>|\langle x, y\rangle| \le \|x\|\,\|y\|</math>

 

によっても特徴付けることができる。

 

 

=== もう少し自明でない例 ===

:<math>\sum_{n=1}^\infty |z_n|^2</math>

:<math>\langle \mathbf{z},\mathbf{w}\rangle = \sum_{n=1}^\infty z_n\bar{w}_n</math>

で定義される。この右辺の級数が収束することはコーシー・シュヴァルツの不等式からの帰結である。

 

 

== 歴史 ==

ヒルベルト空間が開発される以前にも、数学や物理学においてユークリッド空間を一般化する別な概念が知られていた。特に、19世紀の終わりに掛けていくつかの流れの中から[[ベクトル空間|抽象線型空間]]の概念が獲得される<ref>[[アウグスト・フェルディナント・メビウス|メビウス]]の後押しを受けた[[ヘルマン・グラスマン|グラスマン]]の手によるところが大きい {{harv|Boyer|Merzbach|1991|pp=584–586}}。抽象線型空間の現代的にきちんとした公理的取り扱いは、1888年の[[ジュゼッペ・ペアノ|ペアノ]]が最初である ({{harvnb|Grattan-Guinness|2000|loc=§5.2.2}}; {{harvnb|O'Connor|Robertson|1996}})。</ref>。これは、その元同士の加法と（[[実数]]や[[複素数]]のような）スカラーによる乗法とを備えた空間のことを指すのであって、必ずしも物理的な系における運動量や位置といった[[幾何ベクトル|「幾何学的な」ベクトル]]をその元が同一視される必要はないという性質のものである。20世紀に入ると、数学者たちは新たな対象を扱うようになり、特に[[数列]]の空間（[[級数]]論も含む）や関数の空間<ref>ヒルベルト空間の詳しい歴史は {{harvnb|Bourbaki|1987}} に扱われている。</ref> は自然に線型空間と看做すことができる。実際に、関数の場合なら、関数同士の和や定数をスカラーとする乗法が定義できて、それらの演算は空間ベクトルの加法とスカラー倍が従うのと同じ代数法則に従う。

 

:<math>\langle f,g \rangle = \int_a^b f(x)g(x)\,dx</math>

を持ち、これがよく知られたユークリッド空間のドット積の性質の多くを有していた。これにより特に、関数からなる[[正規直交系]]の概念が意味を持つようになる。シュミットは、この内積と通常のドット積との類似性として、

:<math>f(x) \mapsto \int_a^b K(x,y) f(y)\, dy</math>

:<math>K(x,y) = \sum_n \lambda_n\varphi_n(x)\varphi_n(y)\,</math>

 

 

更なる基本的結果が20世紀の初め頃に証明されていく。例えば、[[リースの表現定理]]は1907年に[[モーリス・フレシェ|フレシェ]]と[[リース・フリジェシュ|リース]]がそれぞれ独立に示した<ref>{{harvtxt|Fréchet|1907}} と {{harvtxt|Riesz|1907}} の結果を併せて {{harvtxt|Dunford|Schwartz|1958|loc=§IV.16}} は「L²[0,1] 上の任意の線型汎関数は積分で表される」と書いている。「ヒルベルト空間の双対がもとの空間と同一視される」という一般な形の主張は {{harvtxt|Riesz|1934}} で述べられている。</ref> [[ジョン・フォン・ノイマン|フォン・ノイマン]]は自身の非有界[[エルミート作用素]]の研究において「'''抽象ヒルベルト空間'''」という用語を創出した<ref>{{Harvnb|von Neumann|1929}}.</ref>。他の[[ヘルマン・ワイル|ワイル]]や[[ノーバート・ウィーナー|ウィーナー]]のような数学者は（しばしば物理学的な興味を動機として）既に特定のヒルベルト空間については極めて詳細な研究を行っていたのだけれども、一般のヒルベルト空間をきちんと、しかも公理的に取り扱ったのはフォン・ノイマンが最初である<ref>{{harvnb|Kline|1972|p=1092}}</ref>。後にフォン・ノイマンは、量子力学の基礎付けに関する金字塔的研究<ref>{{Harvnb|Hilbert|Nordheim|von Neumann|1927}}.</ref>においてこのヒルベルト空間の概念を用いており、[[ユージン・ウィグナー|ウィグナー]]へと続いていく。「ヒルベルト空間」という呼称は瞬く間に他へ広まり、例えばワイルは自身の量子力学と群論の教科書<ref name="Weyl31">{{Harvnb|Weyl|1931}}.</ref>で用いている。

ヒルベルト空間の概念の重要性は、それが最も適切な[[量子力学の数学的基礎]]の提供を実現したことで強く認識されるようになった<ref>{{harvnb|Prugovečki|1981|pp=1–10}}.</ref>。簡単に言えば、量子力学系の状態はある種のヒルベルト空間におけるベクトルであり、可観測量はその空間上の[[エルミート作用素]]であり、系の[[対称性 (物理学)|対称性]]は[[ユニタリ作用素]]であり、[[観測問題|観測]]は[[直交射影]]である。量子力学的対称性とユニタリ作用素との間の関係は、1928年のワイル<ref name="Weyl31" />に始まる[[群 (数学)|群]]の[[ユニタリ表現|ユニタリ]][[群の表現論|表現論]]の発展の原動力となった。他方、1930年代の初め頃には、古典的な[[力学系]]のある種の性質が、[[エルゴード理論]]の枠組みのもとでヒルベルト空間を用いた方法で調べられるようになり、明らかにされた<ref name="von Neumann 1932">{{harvnb|von Neumann|1932}}</ref>。

 

 

== 例 ==

{{Main|ルベーグ空間}}

 

:<math> \int_X |f|^2 d \mu < \infty</math>

を満たす。ただし、[[零集合|測度零の集合]]の上でだけ異なる（[[ほとんど (数学)|殆ど至る所一致する]]）ような関数は全て同一視するものとする。

 

:<math>\langle f,g\rangle=\int_X f(t) \overline{g(t)} \ d \mu(t)</math>

 

:<math>\int_0^1 |f(t)|^2w(t)\,dt < \infty</math>

:<math>\langle f,g\rangle=\int_0^1 f(t) \overline{g(t)} w(t) \, dt</math>

:<math>\mu(A) = \int_A w(t)\,dt</math>

 

=== ソボレフ空間 ===

 

:<math>\langle f,g\rangle = \int_\Omega f(x)\bar{g}(x)\,dx + \int_\Omega D f\cdot D\bar{g}(x)\,dx + \cdots + \int_\Omega D^s f(x)\cdot D^s \bar{g}(x)\, dx</math>

 

:<math>H^s(\Omega) = \{ (1-\Delta)^{-s/2}f | f\in L^2(\Omega)\}</math>

 

=== {{anchors|正則函数の空間}}正則関数の空間 ===

; ハーディ空間

M_r(f) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}|f(re^{i\theta})|^2\,d\theta

\|f\|_2 = \lim_{r\to 1} \sqrt{M_r(f)}

f(z) =\sum_{n=0}^\infty a_n z^n,\qquad\left(\sum_{n=0}^\infty|a_n|^2 <\infty\right)

 

; ベルグマン空間

\|f\|^2 = \int_D |f(z)|^2\,d\mu(z) < \infty

\sup_{z\in K} |f(z)| \le C_K \|f\|_2

f(z) = \int_D f(\zeta)\overline{\eta_z(\zeta)}\,d\mu(\zeta)

 

 

== 応用 ==

{{Main|スツルム・リウヴィル理論|{{仮リンク|常微分方程式のスペクトル論|en|Spectral theory of ordinary differential equations}}}}

[[Image:Harmonic partials on strings.svg|right|thumb|振動元の[[倍音]]。これらはスツルム・リウヴィル問題の[[固有関数]]で、固有値 {{math|1,1/2,1/3,…}} は[[倍音列]]を成す。]]

:<math> -\frac{d}{dx}\left[p(x)\frac{dy}{ dx}\right]+q(x)y=\lambda w(x)y</math>

で、一般斉次[[ロビン境界条件]]

 

フォンノイマンの平均エルゴード定理<ref name="von Neumann 1932"></ref>の主張は次のようなものである。

Px = \lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_0^TU_tx\,dt

</math></div>が成り立つ。

[[File:Sawtooth Fourier Analysys.svg|thumb|right|正弦波基底関数（下）の重ね合わせが鋸歯状波（上）になる。]]

[[File:Harmoniki.png|thumb|right|球面上の自乗可積分関数全体の成すヒルベルト空間の正規直交基底を成す[[球面調和関数]]を、半径方向に沿ってグラフ化したもの]]

:<math>\sum_{n=-\infty}^\infty a_n e^{2\pi in\theta}\quad (a_n := \int_0^1f(\theta)e^{-2\pi in\theta}\,d\theta)</math>

なる形の級数である。

鋸歯状波関数に対するフーリエ級数の最初の数項を足し上げた例を図に示す。鋸歯状波関数の波長を λ とすると、（基本波、つまり ''n'' = 1 を除いて）それよりも短い波長 λ/''n''（''n'' は整数）をもつ正弦波が基底関数である。全ての基底関数が鋸歯状波の折れるところで交わり（結点）を持つが、基本波を除く全ての基底関数はそれ以外にも結点を持つ。鋸歯の周りでの基底関数の部分和の振動は[[ギブズ現象]]と呼ばれるものである。

 

:<math>f(\theta) = \sum_n a_n e_n(\theta),\quad (a_n := \langle f,e_n\rangle)</math>

 

この問題を抽象的な観点からも見ることができる。任意のヒルベルト空間は[[正規直交基底]]を持ち、ヒルベルト空間の各元はそれら基底に属する元の定数倍の和として一意的に表すことができるが、この展開に現れる各基底元の係数のことをその元の抽象フーリエ係数と呼ぶことがある<ref>{{harvnb|Halmos|1957|loc=§5}}</ref>。このような抽象化は、''L''²([0,1]) などの空間で別の基底関数系を用いることがより自然であるようなときに、特に有用である。関数を三角関数系に分解することは不適当だが、例えば[[直交多項式系]]や[[ウェーブレット]]<ref>{{harvnb|Bachman|Narici|Beckenstein|2000}}</ref>および高次元において[[球面調和関数]]<ref>{{harvnb|Stein|Weiss|1971|loc=§IV.2}}.</ref>へ展開することが適当であるような状況はたくさんある。

== 性質 ==

=== 三平方の定理 ===

 

''u'' と ''v'' とが直交するとき、等式

''u''₁, …, ''u_n'' に対して

:<math>\|u_1 + \cdots + u_n\|^2 = \|u_1\|^2 + \cdots + \|u_n\|^2</math>

:<math>\left\|\sum_{k=0}^\infty u_k \right\|^2 = \sum_{k=0}^\infty \|u_k\|^2</math>

が満たされることである。更に言えば、互いに直交するベクトルからなる級数の和は、それらのベクトルの和をとる順番に依らずに定まる。

 

=== 最適近似 ===

 

:<math> {}^{\exists!}y \in C,\quad \|x - y\| = \mathrm{dist}(x, C) = \min \{ \|x - z\| : z \in C \}.</math>

これは、''C'' を平行移動した凸集合 ''D'' := ''C'' &minus; ''x'' にノルムが最小となる点が存在するとも言い換えられる。このことは、任意の最小化列 (''d_n'')&nbsp;⊂ ''D'' が（中線定理により）コーシー列となること、従って（完備性により）''D'' 内の点に収束するが、それがノルム最小であることを示すことで証明できる。もっと一般に、一様凸バナッハ空間でこのことは成り立つ<ref>{{harvnb|Dunford|Schwartz|1958|loc=II.4.29}}</ref>。

 

:<math> y \in F, \quad x - y \perp F</math>

によって特徴付けることができる<ref>{{harvnb|Rudin|1987|loc=Theorem 4.11}}</ref>。この点 ''y'' というのは ''x'' の ''F'' の上への'''直交射影'''に他ならない。このとき、写像 ''P_F'': ''x'' &#x21a6; ''y'' は線型である（[[#直交補空間と射影|後述]]）。この結果は、[[最小自乗法]]の基礎を成すもので、[[応用数学]]、特に[[数値解析]]において有意である。

 

 

=== 双対性 ===

:<math>\|\varphi\| = \sup_{\|x\|=1,\atop x\in H} |\varphi(x)|</math>

で定義される自然なノルムが入る。このノルムは中線定理を満足するので、この双対空間もまた内積空間になる。またこれは完備であり、従ってそれ自身ヒルベルト空間を定める。

[[リースの表現定理]]は、この双対空間の簡便な記述を与えてくれる。即ち、''H'' の各元 ''u'' に対して、

:<math>\varphi_u(x) = \langle x,u\rangle</math>

:<math>\langle x, u_\varphi\rangle = \varphi(x)</math>

を満たす。双対空間 ''H''^∗ 上に定まるこの内積は

を満たす。右辺で順番が逆になっているのは ''u''_φ の反線型性から φ の線型性を回復するためである。実係数の場合は、''H'' からその双対空間への反線型同型は実際には線型同型になるから、実ヒルベルト空間はその双対空間と自然に同型になる。

 

:<math> u = \langle v, v \rangle^{-1} \, \overline{\varphi (v)} \, v</math>

を満たすようにする。この対応関係 φ ↔ ''u'' は[[物理学]]ではお馴染みの[[ブラ・ケット記法]]で大いに活用されている。物理学ではふつうは内積 &lang;''x''&thinsp;|&thinsp;''y''&rang; の右側の項に関して線型なので、

とすると、この &lang;''x''&thinsp;|&thinsp;''y''&rang; は、ブラベクトルと呼ばれる線型汎関数 &lang;''x''| がケットベクトルと呼ばれるベクトル |''y''&rang; に作用したものと見ることができる。

 

 

=== {{anchors|弱収斂列}}弱収束列 ===

{{main|{{仮リンク|弱収束 (ヒルベルト空間)|en|Weak convergence (Hilbert space)}}}}

:<math>\lim_n \langle x_n, v \rangle = \langle x, v \rangle</math>

をみたすことをいう。

 

逆に、ヒルベルト空間における任意の有界列は弱収束する部分列を含む（{{仮リンク|アラオグルの定理|en|Alaoglu's theorem<!-- リダイレクト先の「[[:en:Banach–Alaoglu theorem]]」は、[[:ja:バナッハ＝アラオグルの定理]] とリンク -->}}） <ref>{{harvnb|Weidmann|1980|loc=§4.5}}</ref>。この結果は、'''R'''^''d'' 上の連続関数に対して[[ボルツァーノ・ヴァイエルシュトラスの定理]]を用いるのと同じやり方で、連続[[凸関数]]に対する最小値定理の証明に用いられる。これにはいくらか異なった述べ方があるが、以下のような形が簡便であろう<ref>{{harvnb|Buttazzo|Giaquinta|Hildebrandt|1998|loc=Theorem 5.17}}</ref>

 

 

=== バナッハ空間の性質 ===

に分解され、各項は互いに可換になる。正規作用素をその実部と虚部とに分けて考えることも有用である。

 

 

B(''H'') の元が[[コンパクト作用素|コンパクト]]であるとは、それが有界集合を[[相対コンパクト]]集合へ写すときに言う。同じことだが、有界作用素 ''T'' について、任意の有界列 {''x''_''k''} に対して列 {''Tx''_''k''} が収束部分列を持つとき ''T'' はコンパクトである。多くの[[積分作用素]]はコンパクトであり、事実[[ヒルベルト＝シュミット作用素]]として知られるコンパクト作用素のクラスが[[積分方程式]]論において特に重要な働きをする。[[フレドホルム作用素]]は恒等変換の定数倍の分だけコンパクト作用素とは違うけれども、[[核 (数学)|核]]と[[余核]]が有限であるような作用素としても特徴付けられる。フレドホルム作用素の指数 (index) は

 

=== 非有界作用素 ===

 

* 微分作用素の適当な拡張 <div style="margin: 1ex 3em;"><math> (A f)(x) = i \frac{d}{dx} f(x),</math></div> ただし、''i'' は虚数単位、''f'' は台がコンパクトな可微分関数。

* ''x'' による掛け算作用素 <div style="margin: 1ex 3em;"><math> (B f) (x) = x f(x).</math></div>

 

== ヒルベルト空間の構成 ==

で定めたものになっている。より一般に、''i'' ∈ ''I'' を添字とするヒルベルト空間の族 ''H''_''i'' に対して、その（外部）直和 <math>\textstyle\bigoplus_{i\in I}H_i</math> が、''H''_''i'' の[[直積集合|デカルト積]]の元 <math>\textstyle x=(x_i\in H_i\mid i\in I) \in \prod_{i\in I}H_i</math> で条件 <math>\textstyle\sum_{i\in I} \|x_i\|^2 < \infty</math> を満たすもの全体から成る集合を台とし、内積を

:<math>\langle x, y\rangle = \sum_{i\in I} \langle x_i, y_i\rangle_{H_i}</math>

:<math>E_iE_j = 0\quad (i\ne j)</math>

が成り立つ。

 

 

=== テンソル積 ===

== 正規直交基底 ==

{{main|正規直交基底}}

# '''正規性''': 族 ''e''_''k'' (''k'' ∈ ''B'') の各元のノルムは 1 である（&#x2016;''e''_''k''&#x2016;&nbsp;=&nbsp;1 for all ''k'' in ''B''）。

# '''完全性''': 族 ''e''_''k'' (''k'' ∈ ''B'') の[[線型包|張る部分空間]]は ''H'' において[[稠密集合|稠密]]である。

正規直交基底の例としては、

* 集合 {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} はドット積に関して '''R'''³ の正規直交基底になる。

等を挙げることができる。