「偶関数と奇関数」の版間の差分

[[数学]]において、'''偶関数'''（ぐうかんすう、''{{lang-en-short|even function''}}）・、あるいは'''奇関数'''（きかんすう、''{{lang-en-short|odd function''}}）とは、変数の[[プラス記号正の数とマイナス記号負の数|符号]]を反転させる変換に関してそれぞれ、値が不変である・、あるいは値の符号が反転する[[関数 (数学)|関数]]のことである。

[[ファイル:cos-curve.png|thumb|偶関数の例：余弦関数は ''{{mvar|y''}} 軸対称]]

|二次関数のグラフ。{{math|(''x'' − 10)²}} を除き偶関数の例である。{{math|1=(''x'' − 10)²}} {{math|1== ''x''² − 20''x'' + 100}} は 1 次の項を含むので偶関数ではない（奇関数でもない。ただし、{{math|1=''X'' = ''x'' − 10}} に関する偶関数である）。

|三次関数のグラフ。原点を通る 2 つは奇関数の例になっている。{{math|1=''x'' = 0}} で値を持つ奇関数ならば少なくとも原点を通る（逆は必ずしも真ではない）。

関数 {{math|''f''(''x'')}} が'''偶関数'''であるとは、<!--定義域は？-->

*: <math>f(-x)=f(x)</math>

が任意の ''{{mvar|x''}} について成立することである。また、関数 {{math|''f''(''x'')}} が'''奇関数'''であるとは、

*: <math>f(-x)=-f(x)</math>

が任意の ''{{mvar|x''}} について成立することである。

* 偶関数 ''{{mvar|f''}} は、''{{mvar|xy''}}-平面上に {{math|1=''y'' = ''f''(''x'')}} の[[グラフ (関数)|グラフ]]を描いたとき ''{{mvar|y''}} 軸に関して[[対称性|対称]]（[[線対称]]）になる。

* 奇関数 ''{{mvar|f''}} は、''{{mvar|xy''}}-平面上に {{math|1=''y'' = ''f''(''x'')}} のグラフを描いたとき原点に関して対称（[[点対称]]）になる。つまり 特に、{{math|''f''(0)}} が値を持つ定義されているならば {{math|1=''f''(0) = 0}} である。<!-- そのグラフは必ず原点を通る。 → f(x)=1/x という反例があるのでコメントアウト。 -->

* 奇関数と偶関数の和は一般には奇関数でも偶関数でもない。（例：{{math|''x'' + ''x''²}}）

* 2 つの偶関数の積は偶関数<ref name="F1986">大石 進一 『フーリエ解析 (理工系の数学入門コース 6)』 岩波書店、1989年、ISBN 4000077767</ref>

* 偶関数が微分可能なときに 、1 回微分すると奇関数になる。

* 奇関数が微分可能なときに 、1 回微分すると偶関数になる。

* 偶関数の[[テイラー級数]]は ''{{mvar|x''}} の偶数次の項だけを持つ[[冪級数|べき級数]]である。

* 周期的な偶関数の[[フーリエ級数]]は {{math|cos}} の項だけで構成される。

* 周期的な奇関数のフーリエ級数は {{math|sin}} の項だけで構成される。

* 偶関数かつ奇関数であるような関数 {{math|''f''(''x)'')}} は、 {{math|1=''f''(''x'') = 0''}} しかない。当然 {{math|1=''f''(''x'') = 0''}} ならば {{math|''f''(''x)'')}} は偶関数でかつ奇関数である（[[同値]]）。

* 偶関数全体の成す集合・、奇関数全体の成す集合はともに[[ベクトル空間]]の構造を持つ。さらに偶関数の全体は[[交換法則|可換]][[多元環]]を成す。一方、奇関数の全体は積について閉じておらず多元環を成さない。

* {{math|''f''(''x'')}} を任意の関数とするとき、以下は それぞれ偶関数および奇関数となる<ref name="F1986" />。

*:<math>f_e(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2} \quad ,\quad f_o(x)= \frac{f(x)-f(-x)}{2}.</math>

*:関数 {{math|''f{{sub|e}}''(''x'')}} を、関数 {{math|''f''(''x'')}} の'''偶関数部分'''という。添字 ''{{mvar|e''}} は偶 (even) を表す。

*:関数 {{math|''f{{sub|o}}''(''x'')}} を、関数 {{math|''f''(''x'')}} の'''奇関数部分'''という。添字 ''{{mvar|o''}} は奇 (odd) を表す。

*:<math>f(x) = \frac{ff_e(x)+f(-x)}{2} + \frac{f(x)-ff_o(-x)}{2}.</math>

* {{math|''x''{{sup|2}}}}, {{math|''x''{{sup|4}}}}, {{math|1=''x''{{sup|0}} = 1}}, {{math|1=''x''{{sup|−2}} = 1/''x''{{sup|2}}}} 等の[[偶数]]次冪関数 {{math|''x''^2''n''}}（''n'' は自然数）。''n'' = 0 なら {{mathmvar|1=''x''{{sup|0n}} = 1}} でありこれも偶関は整数）。

* 任意の関数 {{math|''f''(''x'')}} に対して {{math|''f''(''x'') + ''f''(−''x'')}}

* {{mvar|x}}, {{math|''x''{{sup|3}}}}, {{math|''x''{{sup|−1}}}} 等の[[奇数]]次冪関数 {{math|''x''^{2''n'' − 1} }}（''{{mvar|n''}} は自然整数）

* 逆正弦接関数 （sin{{math|tan⁻¹x）''x''}}