「循環 (流体力学)」の版間の差分

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{{math}}
(→‎循環と渦定理: 生成不滅→不生不滅)
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{{連続体力学}}
[[流体力学]]における'''循環''' (じゅんかん、{{lang-en-short|circulation}}) とは閉曲線上での[[流体]]の[[速度]]の[[線積分]]である。循環は ''Γ''{{Mvar|Γ}} と表されることが多い。[[渦]]の強さを表し、[[非粘性]][[バロトロピック流体]]の[[保存力|保存外力]]下では流れにそって保存する。
 
閉曲線 ''{{Math|C''}} に沿った循環 ''Γ''{{Mvar|Γ}} は、流体の速度を ''{{Mvar|'''v'''''}} 、曲線の微小線要素ベクトルを {{Math|d'''''l'''''}} として、線積分
:<math>
{\it\Gamma}=\oint_{\mathrm C} \boldsymbol{v} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l}
</math>
で表せる<ref name="巽">
:<math>\begin{align}
{\it\Gamma}
=\oint_{\mathrm C} \boldsymbol{v} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l}
=\int_Sint_\mathrm S (\boldsymbol{\mathsf{rot}}\, \boldsymbol{v}) \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}
=\int_Sint_\mathrm S \boldsymbol{\omega} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}
\end{align}</math>
ただし、積分経路 ''{{Math|C'' }} は閉曲線であるだけでなく、面積要素 ''{{Math|S''}} の境界 ''{{Math|1=C'' = ∂''S''∂S}} でなければいけない。ここで
:<math>\boldsymbol{\omega} = \nabla\times\boldsymbol{v} = \boldsymbol{\mathsf{rot}}\, \boldsymbol{v}</math>
は渦度である。<!--渦度とは微小なループに囲まれた単位面積あたりの循環に等価である。-->
 
</ref>。
 
非粘性流体の次元非回転非圧縮流れにおいて、水平方向( ''{{Mvar|x''}} 方向)に一様な速度 ''{{Mvar|U''}} の流れを考える。奥行き方向単位長さあたりの物体にかかる力の鉛直成分( ''{{Mvar|y''}} 成分)、すなわち、[[揚力]] ''{{Mvar|L''}} は物体を囲む閉曲線に沿った循環 ''{{Mvar|Γ''}} と流体の密度 ''{{Mvar|ρ''}} とを使って
:<math>
L = -\rho U {\it\Gamma}