「ホモロジー代数学」の版間の差分

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群と準同型の列の長さは有限でも無限でもよいことに注意する。
 
同様の定義はある種の他の[[代数的構造]]に対してもすることができる。例えば、[[ベクトル空間]]と[[線型写像]]の完全列や、[[環上の加群|加群]]と[[加群準同型]]の完全列がある。より一般的に、完全列の概念は、{{仮リンク|[[核 (圏論)|label=|en|kernel (category theory)}}]]と[[余核]]ともった任意の[[圏]]において意味をもつ。
 
==== 短完全列 ====
完全列の最もよく現れるタイプは'''短完全列''' (short exact sequence) である。これは
:<math>A \;\overset{f}{\hookrightarrow}\; B \;\overset{g}{\twoheadrightarrow}\; C</math>
の形の完全列である。ただし &fnof; は[[モノ射]]で ''g'' は[[エピ射]]である。この場合、''A'' は ''B'' の{{仮リンク|[[部分対象|en|subobject}}]]であり、対応する[[商]]は ''C'' に[[同型]]である。
:<math>C \cong B/f(A)</math>
(ただし ''f(A)'' = im(''f''))。
=== アーベル圏 ===
{{Main|アーベル圏}}
[[数学]]において、'''アーベル圏''' (abelian category) は、[[射]]や対象を足すことができ、{{仮リンク|[[核 (圏論)|label=|en|kernel (category theory)}}]]や[[余核]]が存在し望ましい性質をもった[[圏]]である。動機付けるプロトタイプのアーベル圏の例は{{仮リンク|アーベル群の圏|en|category of abelian groups}} '''Ab''' である。理論の起源は [[アレクサンドル・グロタンディーク]] (Alexander Grothendieck) によるいくつかの[[コホモロジー論]]を統合しようとする試験的な試みである。アーベル圏はとても''安定'' (stable) である。例えば、{{仮リンク|正則圏|label=正則|en|regular category}}であり、[[蛇の補題]]を満たす。アーベル圏のクラスはいくつかの圏論的構成で閉じている。例えば、アーベル圏の[[鎖複体|チェイン複体]]の圏や、{{仮リンク|小さい圏|en|small category}}からアーベル圏への[[関手]]の圏は、再びアーベル圏である。これらの安定性によってアーベル圏はホモロジー代数学やその先で必要不可欠なものである。理論は[[代数幾何学]]、[[コホモロジー]]、そして純粋に[[圏論]]において、主要な応用をもつ。アーベル圏は [[ニールス・アーベル]] (Niels Henrik Abel) にちなんで名づけられている。
 
より具体的には、圏が'''アーベル圏'''であるとは以下を満たすことである。
* [[零対象]]をもつ。
* すべて二項の[[積 (圏論)|積]]と二項の[[余積]]をもつ。
* すべて{{仮リンク|[[核 (圏論)|label=|en|kernel (category theory)}}]]と[[余核]]をもつ。
* すべての[[モノ射]]と[[エピ射]]は{{仮リンク|正規射|en|normal morphism}}である。
 
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