「オイラーの定数」の版間の差分

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{{Otheruses|オイラーのγ|自然対数の底|ネイピア数|整数列|オイラー数}}
'''オイラーの定数'''(オイラーのていすう、{{Lang-en-short|Euler’s constant)constant}})は、[[数学定数]]の1つで、以下のように定義される。
 
{{Indent|<math>\gamma := \lim_{n \rightarrow \infty } \left(\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n) \right) = \int_1^\infty\left({1\over\lfloor x\rfloor}-{1\over x}\right)\,dx</math>}}
 
'''オイラー・マスケローニ定数''' ({{Lang-en-short|Euler-Mascheroni constant}})<ref>[[#Reference-Mathworld-Euler-Mascheroni Constant|Weisstein]]</ref>、'''オイラーの{{mvar|γ}}''' ({{Lang-en-short|Euler's gamma}}) とも呼ぶ。ちなみに、オイラーはこの定数を表わすのに記号 {{mvar|C}} を用いた。{{mvar|γ}} を用いたのは{{仮リンク|ロレンツォ・マスケローニ|en|Lorenzo Mascheroni}}である<ref name="Miller">[http://members.aol.com/jeff570/mathsym.html Jeff Miller, Earliest Uses of Various Mathematical Symbols]</ref>
 
この値は、およそ0.57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 35988 05767 23488 48677 26777 66467 09369 47063 29174 67495...である。
 
上式中オイラーΣ部定数は[[調和級超越数]]であろう呼ばれる。調和級数が[[発散予想]]されていという事実は今日においては[[微分積分学無理数]]の初歩であるが、古くは[[収束]]すると考かどうかさられ分かっていない
 
== 調和級数との関係 ==
調和級数が発散することの証明を最初に行ったのは、14世紀のパリ大学の[[ニコル・オレーム]]である(が、これには誤りがあり、正しい証明が得られたのは17世紀になってからである。詳細は[[調和級数]]を参照)。その後[[ゴットフリート・ライプニッツ|ライプニッツ]]などは有限項の調和級数の[[近似式]]に関心をもつなど17世紀においても数学的な関心を集めていた。
{{main|調和級数}}
:<math>\lim_{n \rightarrow \infty } \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}</math>
上式中のΣ部は[[調和級数]]と呼ばれる。調和級数が[[発散]]するという事実は、今日においては[[微分積分学]]の初歩である<ref>{{Cite web|author=マスオ|date=2014-03-28|url=http://mathtrain.jp/tyowa|title=調和級数1+1/2+1/3…が発散することの証明|publisher=[[高校数学の美しい物語]]|accessdate=2016-11-23}}</ref>が、古くは[[収束]]すると考えられていた。
 
調和級数が発散することの証明を最初に行ったのは、14世紀のパリ大学の[[ニコル・オレーム]]であるが、これには誤りがあり、正しい証明が得られたのは17世紀になってからである。詳細は[[調和級数]]を参照)。その後[[ゴットフリート・ライプニッツ|ライプニッツ]]などは有限項の調和級数の[[近似式]]に関心をもつなど17世紀においても数学的な関心を集めていた。
有限項の調和級数の近似式への関心から、[[レオンハルト・オイラー]]は調和級数の増え方が[[極限]]において[[対数関数]]に等しいことを証明した。つまり、調和級数と対数関数との差はある定数に収束し、それがのちにオイラーの定数と呼ばれるようになった。オイラーはこの値を小数第6位まで求めた。その後、{{仮リンク|ロレンツォ・マスケローニ|en|Lorenzo Mascheroni}}が第32位まで求め(ただし、正しかったのは第20位まで)、[[γ]]の記号で表した。
 
有限項の調和級数の近似式への関心から、[[レオンハルト・オイラー]]は調和級数の増え方が[[極限]]において[[対数関数]]に等しいことを証明した。つまり、調和級数と対数関数との差はある定数に収束し、それがのちにオイラーの定数と呼ばれるようになった。オイラーはこの値を小数第6位まで求めた。その後、{{仮リンク|ロレンツォ・マスケローニ|en|Lorenzo Mascheroni}}が第32位まで求め(ただし、正しかったのは第20位まで)、[[γ]]の記号で表した<ref name="Miller" />
オイラーの定数は[[超越数]]であろうと[[予想]]されているが、[[無理数]]であるかどうかさえ分かっていない。
 
== ガンマ関数との関係 ==
大文字のガンマ [[Γ]] で表される[[ガンマ関数]]と小文字のガンマ [[γ]] で表されるオイラーの定数は共にオイラーによって与えられたものであるが、オイラー自身は前者のガンマ関数を[[階乗]](factorial)と呼んでいる。ガンマ関数の記号は[[ルジャンドル]]に始まり、オイラーの定数の記号は{{仮リンク|マスケローニ|en|Lorenzo Mascheroni}}に始まるものである<ref>[http://members.aol.com/jeff570/mathsym.html Jeff name="Miller," Earliest Uses of Various Mathematical Symbols]</ref>。オイラーの定数の記号がガンマ関数に由来するものであったのか、今となっては確かめようがないが、オイラーの定数がガンマ関数に関係しているということは確かである。すなわち、ガンマ関数の乗積表示
{{Indent|<math>\Gamma(z)=\lim_{n\to\infty}\frac{n^zn!}{\displaystyle\prod_{k=0}^{n}{(z+k)}}</math>}}
の対数微分
\end{align}</math>}}
となる。
 
== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{reflist|2}}
 
== 参考文献 ==
*{{Citation
<references/>
|last=Dunham
* William Dunham, "Euler, The Master of Us All" - Chapter 2
|first=William
* Julian Havil: "GAMMA: Exploring Euler's Constant", Princeton University Press (2003).
|author-link=:en:William Dunham (mathematician)
* 上記の邦訳(訳者:新妻弘)「オイラーの定数ガンマ - γで旅する数学の世界」、共立出版、ISBN 978-4320018853 (2009年).
|year=1999
* William Dunham, "|title=Euler, The Master of Us All" - Chapter 2
|publisher=Mathematical Association of America
|edition=Paperback
|series=Dolciani Mathematical Expositions
|volume=Vol. 22
|isbn=978-0-88385-328-3
|url={{Google books|x7p4tCPPuXoC|Euler, The Master of Us All|plainurl=yes}}
}} - Chapter 2
*{{Citation
|last=Havil
|first=Julian
|date=2009-07-06
|origdate=2003-03-17
|title=Gamma: Exploring Euler's Constant
|publisher=Princeton University Press
|edition=Paperback
|series=Princeton Science Library
|isbn=978-0-691-14133-6
|url={{Google books|lQX6Oy_SuOgC|Gamma: Exploring Euler's Constant|plainurl=yes}}
}}
**{{Cite book|和書
|author=Julian Havil
|others=[[新妻弘]] 監訳
|date=2009-05-25
|title=オイラーの定数ガンマ γで旅する数学の世界
|publisher=共立出版
|isbn=978-4-320-01885-3
|url=http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320018853
|ref={{Harvid|Havil|2009}}
}} - {{Harvtxt|Havil|2009}}の初版の翻訳。
*{{cite book|和書
|author = 真実のみを記す会
 
== 外部リンク ==
*{{Kotobank|オイラーの定数|2=[[竹之内脩]]}}
* [http://www.wolframalpha.com/input/?i=Euler%E2%80%99s+constant Euler’s constant] - [[Wolfram Alpha]]
*{{MathWorld|title=Euler-Mascheroni Constant|urlname=Euler-MascheroniConstant}}
* [http://www.wolframalpha.com/input/?i=Euler%E2%80%99s+constant Euler’s constant] - [[Wolfram Alpha]]
 
{{DEFAULTSORT:おいらあのていすう}}