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==不変量==
{{math|∼~}} が {{mvar|X}} 上の同値関係で {{math|''P''(''x'')}} が，{{math|''x'' ∼ ''y''}} であるときにはいつでも，{{math|''P''(''y'')}} が真ならば {{math|''P''(''x'')}} が真であるような，{{mvar|X}} の元の性質であるとき，性質 {{mvar|P}} は {{math|∼}} の[[不変量 (数学)|不変量]]，あるいは関係 {{math|∼}} のもとで [[well-defined]] であるといわれる．
よくある場合は {{mvar|f}} が {{mvar|X}} から別の集合 {{mvar|Y}} への関数であるときに生じる；{{math|''x''<sub>1</sub> ∼~ ''x''<sub>2</sub>}} であるときにはいつでも {{math|1=''f''(''x''<sub>1</sub>) = ''f''(''x''<sub>2</sub>)}} であるとき，{{mvar|f}} は {{math|∼}} に対する''[[射]]''，{{math|∼}} ''の下での類不変量''，あるいは単に {{math|∼}} ''の下の不変量''といわれる．これは例えば有限群の指標理論において現れる．著者によっては「{{math|∼}} の下で不変」の代わりに「{{math|∼}} と両立する」あるいはただ「{{math|∼}} に従う」を用いる．
任意の関数 {{math|''f'': ''X'' → ''Y''}} はそれ自身，{{math|1=''x''<sub>1</sub> ∼~ ''x''<sub>2</sub> ⇔ ''f''(''x''<sub>1</sub>) = ''f''(''x''<sub>2</sub>)}} なる {{mvar|X}} 上の同値関係を定義する．{{mvar|x}} の同値類は {{math|''f''(''x'')}} に写される {{mvar|X}} の元全体の集合である，つまり，類 {{math|[''x'']}} は {{math|''f''(''x'')}} の[[逆像]]である．この同値関係は {{mvar|f}} の{{仮リンク|関数の核|label=核|en|Kernel of a function}}として知られている．
より一般に，関数は（{{mvar|X}} 上の同値関係 {{math|∼<sub>''X''</sub>}} の下で）同値な引数を（{{mvar|Y}} 上の同値関係 {{math|∼<sub>''Y''</sub>}} の下で）同値な値に送ることがある．そのような関数は {{math|∼<sub>''X''</sub>}} から {{math|∼<sub>''Y''</sub>}} への射と呼ばれる．
==トポロジー 位相空間論における商空間 ==
[[位相空間論]]において[[商位相空間|商空間]]は、与えられた同値関係に関する同値類全体の成す集合上にもとの空間の位相から誘導される位相を入れて得られる[[位相空間]]である。
[[抽象代数学]]において[[代数系]]の台集合上で定義される[[合同関係]]は、その関係に関する同値類全体の成す集合上に{{仮リンク|商代数系|en|quotient algebra}}と呼ばれる代数構造を誘導する。[[線型代数学]]における[[商線型空間|商空間]]は、加法群に関して[[剰余群|商群]]をとることによって得られるベクトル空間で、その商写像は線型写像になる。用例を敷衍して、抽象代数学において[[剰余加群|商加群]]、[[剰余環|商環]]、[[剰余群|商群]]などの任意の商代数系のことを「商空間」と呼ぶことがあるが、より一般の場合においてもしばしば群作用の軌道とのアナロジーによって「商空間」の語を用いることがある。
In [[topology]], a [[Quotient space (topology)|quotient space]] is a [[topological space]] formed on the set of equivalence classes of an equivalence relation on a topological space using the original space's topology to create the topology on the set of equivalence classes.
適当な集合上に定義された[[群作用]]の軌道全体の成す空間は、その集合の群作用に関する商空間とも呼ばれる（特に群作用の軌道空間が作用群の部分群による（部分群によるもとの群への左移動作用から生じる）右[[剰余類]]集合、あるいは右移動による軌道としての左剰余類集合になっている場合）。
In [[abstract algebra]], [[congruence relation]]s on the underlying set of an algebra allow the algebra to induce an algebra on the equivalence classes of the relation, called a [[quotient algebra]]. In [[linear algebra]], a [[Quotient space (linear algebra)|quotient space]] is a vector space formed by taking a [[quotient group]] where the quotient homomorphism is a [[linear map]]. By extension, in abstract algebra, the term quotient space may be used for [[quotient module]]s, [[quotient ring]]s, [[quotient group]]s, or any [[quotient algebra]]. However, the use of the term for the more general cases can as often be by analogy with the orbits of a group action.
位相群の正規部分群がもとの群に移動作用で作用しているときの商空間は、位相空間の意味でも抽象代数学の意味でも群作用の意味でも同時に商空間になっている。
The orbits of a [[group action]] on a set may be called the quotient space of the action on the set, particularly when the orbits of the group action are the right [[coset]]s of a subgroup of a group, which arise from the action of the subgroup on the group by left translations, or respectively the left cosets as orbits under right translation.
商空間という言葉を、更なる構造も含めたうえで、任意の同値関係による同値類集合に対して用いることはできるけれども、商空間と呼ぶ目的は一般に、集合 {{mvar|X}} 上の同値関係の種類をもとの {{mvar|X}} に入っているのと同じ種類の構造を同値類集合上に誘導する同値関係と、あるいは群作用の軌道空間と比較することである。同値関係で保たれる構造の意味でも、群作用に対する不変量の研究の意味でも、いずれも上で与えた同値類の不変量の定義が導かれる。
A normal subgroup of a topological group, acting on the group by translation action, is a quotient space in the senses of topology, abstract algebra, and group actions simultaneously.
Although the term can be used for any equivalence relation's set of equivalence classes, possibly with further structure, the intent of using the term is generally to compare that type of equivalence relation on a set ''X'' either to an equivalence relation that induces some structure on the set of equivalence classes from a structure of the same kind on ''X'', or to the orbits of a group action. Both the sense of a structure preserved by an equivalence relation and the study of [[Invariant (mathematics)|invariants]] under group actions lead to the definition of [[#Invariants|invariants]] of equivalence relations given above.
==関連項目==
*[[:en:Equivalence partitioning|Equivalence partitioning]], a method for devising test sets in [[:en:software testing|software testing]] based on dividing the possible program inputs into equivalence classes according to the behavior of the program on those inputs
* [[等質空間]]，: [[リー群]]の商空間．
*[[: {{仮リンク|代表系|en:|Transversal (combinatorics)|Transversal]]}}
==脚注==
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