「5項補題」の版間の差分

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* ''c′c′'' を ''C′C′'' の元とする。
* ''p'' は全射なので、ある元 ''d'' ∈ ''D'' が存在して、''p''(''d'') = ''t''(''c′c′'').
* 図式の可換性より、''u''(''p''(''d'')) = ''q''(''j''(''d'')).
* 完全性より im ''t'' = ker ''u'' なので、0 = ''u''(''t''(''c′c′'')) = ''u''(''p''(''d'')) = ''q''(''j''(''d'')).
* ''q'' は単射なので、''j''(''d'') = 0 であり、''d'' は ker ''j'' = im ''h'' の元である。
* したがってある ''c'' ∈ ''C'' が存在して ''h''(''c'') = ''d''.
* すると ''t''(''n''(''c'')) = ''p''(''h''(''c'')) = ''t''(''c′c′'') である。''t'' は準同型なので、''t''(''c′c′'' − ''n''(''c'')) = 0 である。
* 完全性より、''c′c′'' − ''n''(''c'') は ''s'' の像に入っているので、ある ''b′b′'' ∈ ''B′B′'' が存在して、''s''(''b′b′'') = ''c′c′'' − ''n''(''c'').
* ''m'' は全射なので、ある ''b'' ∈ ''B'' が存在して、''b′b′'' = ''m''(''b'').
* 可換性により、''n''(''g''(''b'')) = ''s''(''m''(''b'')) = ''c''' − ''n''(''c'').
* ''n'' は準同型なので、''n''(''g''(''b'') + ''c'') = ''n''(''g''(''b'')) + ''n''(''c'') = ''c′c′'' − ''n''(''c'') + ''n''(''c'') = ''c′c′''.
* したがって、''n'' は全射である。
 
* 完全性により、ある ''b'' ∈ ''B'' が存在して、''g''(''b'') = ''c''.
* 可換性により、''s''(''m''(''b'')) = ''n''(''g''(''b'')) = ''n''(''c'') = 0.
* すると完全性により、ある元 ''a′a′'' ∈ ''A′A′'' が存在して、''r''(''a′a′'') = ''m''(''b'').
* ''l'' は全射なので、''a'' ∈ ''A'' が存在して、''l''(''a'') = ''a′a′''.
* 可換性より、''m''(''f''(''a'')) = ''r''(''l''(''a'')) = ''m''(''b'').
* ''m'' は単射なので、''f''(''a'') = ''b''.
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