「準同型」の版間の差分

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となる写像の組 (''f'', ''F'') を準同型写像と呼ぶのである。ここで、&alpha;<sub>&lambda;</sub>, &beta;<sub>&lambda;</sub> は |''I''<sub>&lambda;</sub>| 項演算であるものとする。通常は (''f'', ''F''): (''A'', ''R'') &rarr; (''B'', ''S'') を単に準同型 ''f'': ''A'' &rarr; ''B'' と略記する。
 
重要なことは、''A'' の演算と ''B'' の演算とが台集合上の写像 ''f'' のみで一対一に対応させることができるということである。これを、''f'' は'''構造を保存''' {{lang|en|(structure preserving)}} する、'''構造と両立''' {{lang|en|(compatible with structure)}} する、'''構造と可換''' {{lang|en|(commute with structure)}} であるなどといい表す。これにより、''A'' における演算が ''f'' で ''B'' に移されると考えることができる。特に、準同型写像 ''f'': ''A'' &rarr; ''B'' が与えられたとき、その像 ''f''(''A'') は ''B'' の部分代数系となる。このとき一般には、像 ''f''(''A'') はもとの代数系 ''A'' からある程度 "つぶれている" ため、像 ''f''(''A'') から直接にもとの代数系 ''A'' の様子を知ることは完全にはできないのであるが、この潰れ具合は準同型の[[核 (数学)|核]]と呼ばれる[[同値関係]]によって推し量ることができ、それによってもとの代数系 ''A'' を復元することができる。一方、準同型 ''f'' が単射であれば ''A'' は ''B'' にその構造まで込めて埋め込まれる。ゆえに、単射な準同型をしばしば'''埋め込み'''(うめこみ、{{lang|en|embedding}})と呼ぶ。なお、単射な準同型、全射な準同型はそれぞれ'''単準同型'''(たんじゅんどうけい、{{lang|en|injective homomorphism, monomorphism}})、'''全準同型'''(ぜんじゅんどうけい、{{lang|en|surjective homomorphism, epimorphism}})とも言われる。
 
準同型写像 ''f'' が逆写像 ''f''<sup>&minus;1</sup> を持ち、なおかつ ''f''<sup>&minus;1</sup> もまた準同型であるとき、''f'' は'''同型写像'''あるいは単に同型であるという。''f'' が同型ならば ''f''<sup>&minus;1</sup> も同型である。ある数学的構造を持つ二つの集合 ''A'', ''B'' の間に準同型写像が存在するとき、''A'' と ''B'' とは準同型であるといい、さらに同型写像が存在するとき同型であるという。互いに同型な集合はその構造に関しては同じものとみなすことができる。
* [[数学的構造]]
* [[射 (圏論)]]
* [[核 (数学)]]
 
{{DEFAULTSORT:しゆんとうけい}}
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