「ガンマ関数」の版間の差分
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== 基本的性質 ==
ガンマ関数は、[[階乗]]の[[複素数]]への拡張としてオイラーによって考案されたものであ
{{Indent|<math>\Gamma(z+1)=z\Gamma(z) \,</math>}}
が成立し、[[自然数]]<math>n</math>について
{{Indent|<math>\Gamma(n+1)=n! \,</math>}}
が成立する。
実際、オイラー積分による定義から
{{Indent|<math>\Gamma(z+1)=\int_{t=0}^{\infty}{t^{z
<math>\Gamma(1)=\int_{t=0}^{\infty}{e^{-t}}\,dt=\left[-e^{-t}\right]_{t=0}^{\infty}=1</math>}}
であり、[[自然数]]<math>n</math>について<math>\Gamma(n+1)=n!</math>が成り立つ。従って、ガンマ関数は[[階乗]]の定義域を[[複素平面]]に拡張したものといえる。そのような関数は無数に存在するが、正の実軸上で[[凸関数|対数凸]]である解析関数という条件を付ければ、それは一意に定まりガンマ関数に他ならない（→'''[[ボーア・モレルップの定理]]'''）。右半平面においてオイラー積分で定義されたガンマ関数は全平面に[[有理型関数|有理型]]に[[解析接続]]する。ガンマ関数は[[零点]]を持たず、原点と負の整数に一位の極を持つ。その[[留数]]は、
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