「集積点」の版間の差分

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== 極限点の種類 ==
* ''x'' を含む任意の開集合が無限に多くの ''S'' の点を含むとき、集積点 ''x'' を特に ''S'' の '''ωω-集積点''' {{lang|en|(''ω-accumulation point'')}} という。
* ''x'' を含む任意の開集合が非可算無限個の ''S'' の点を含むとき、集積点 ''x'' を特に ''S'' の'''[[凝集点]]''' {{lang|en|(''condensation point'')}} という。
* ''x'' を含む任意の開集合 ''U'' について |''U'' ∩ ''S''| = |''S''| が満たされるとき、集積点 ''x'' を特に ''S'' の'''完全集積点''' {{lang|en|(''complete accumulation point'')}} という。
''X'' の点 ''x'' が[[点列]] (''x''<sub>''n''</sub>)<sub>''n''∈'''N'''</sub> の'''密集点''' {{lang|en|(''cluster point'')}} であるとは、''x'' の任意の近傍 ''V'' に対し ''x''<sub>''n''</sub> ∈ ''V'' なる自然数が無限に存在するときにいう。空間が列収束ならば、これは点列 (''x''<sub>''n''</sub>)<sub>''n''∈'''N'''</sub> の部分列で ''x'' を極限とするものがあることと同値である。
 
[[有向点族|ネット]]の概念は[[点列]]の概念を一般化したもので、ネットに関する密集点の概念は凝集点と &omega;ω-集積点の概念をともに一般化するものになっている。集積および集積点の概念は同じように[[フィルター (数学)|フィルター]]に対しても定義することができる。
 
点列の密集点全体の成す集合は、しばしば[[極限集合]]と呼ばれる。
集積点の特徴づけとして
: 「''x'' が ''S'' の集積点となる必要十分条件は、''x'' が ''S'' ∖ {''x''} の[[閉包 (位相空間論)|閉包]]に含まれることである」
を挙げることができる。実際、ある点 ''y'' がある集合 ''T'' の閉包に属することと ''y'' の任意の近傍が ''T'' と交わりを持つことが同値であるから、''x'' の任意の近傍が ''x'' と異なる ''S'' の元を含む(&hArr;(⇔ ''x'' の任意の近傍が ''S'' ∖ {''x''} と交わる)という条件は、すなわち ''x'' が ''S'' ∖ {''x''} の閉包に属すると言う条件に他ならない。L(''S'') を ''S'' の集積点全体の成す集合とすると、''S'' の閉包について
:「''S'' の閉包 cl(''S'') は ''S'' と L(''S'') との和集合に等しい」
という特徴づけが得られる。実際(cl(''S'') &sub; ''S'' &cup; L(''S'') について)、''x'' が ''S'' の閉包に属するとすると、''x'' が ''S'' に属する場合は何もすることは無いが、そうでない場合は ''x'' の任意の近傍が ''S'' の点を含み、それは ''x'' と異なる(すなわち、''x'' は ''S'' の集積点で L(''S'') に属す)。逆に(cl(''S'') &sup; ''S'' &cup; L(''S'') について)、''S'' は明らかに ''S'' の閉包に属し、L(''S'') の元 ''x'' については''x'' の任意の近傍が(''x'' と異なる)''S'' の点を含むから、やはり ''x'' は ''S'' の閉包に属する。また、この結果の系として、閉集合の特徴づけ
:「''S'' が閉集合であるための必要十分条件は、''S'' がその集積点を全て含むことである」
が得られる。実際、''S'' が閉 &hArr; ''S'' = cl(''S'') &hArr; ''S'' = ''S'' ∪ L(''S'') となるが、これは L(''S'') は ''S'' に含まれるという条件に他ならない。あるいは次のようにしても分かる。''S'' が閉で ''x'' が ''S'' の集積点であるとき、もし ''x'' が ''S'' に属さないとすると ''S'' の開近傍で ''S'' の補集合に包まれるものがあることになるが、それは ''S'' の点を含まないので ''x'' が ''S'' の集積点であったことに反する。逆に ''S'' が全ての集積点を含むとすると、''S'' の補集合が開であることを示せる。実際、''x'' を ''S'' の補集合の元とすると仮定により ''x'' は集積点でないから、''x'' の開近傍 ''U'' で ''S'' と交わらないものが取れて、''U'' は ''S'' の補集合に包まれる。これは ''S'' の補集合の各点で成り立つから、''S'' の補集合は各点の開近傍の和として書けることになり、''S'' の補集合は開となる。
 
[[孤立点]]はいかなる集合の集積点にもならない。実際、''x'' が孤立点ならば {''x''} は ''x'' の近傍となるが、これは ''x'' 以外の点を含まない。空間 ''X'' が[[離散空間|離散的]]ならば任意の点が孤立点ゆえ、集積点を持つような ''X'' の部分集合は存在しない。''X'' が離散的でないとき、単元集合 {''x''} が開でないような点 ''x'' が存在するから、''x'' の任意の開近傍は ''x'' と異なる点を含み、''x'' は ''X'' の集積点となる。したがって、位相空間 ''X'' が離散であるための必要十分条件は、''X'' が集積点を持つ部分集合を持たないことである。
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