「前加法圏」の版間の差分

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[[数学]]、特に[[圏論]]において、'''前加法圏'''とは[[可換群]]のなす[[モノイド圏]]で{{仮リンク|[[豊穣圏|label=豊穣化|en|enriched category}}]]した[[圏 (数学)|圏]]のことである。言い換えると、圏'''C'''が前加法的であるとは、'''C'''の各[[hom集合]] Hom(''A'',''B'') が可換群の構造を持ち、さらに射の合成について双線形であることをいう。
 
{{仮リンク|[[アーベル群の圏|label=可換群の圏|en|Category of abelian group}}]] を '''Ab''' と書く記法に由来して、前加法圏を「'''Ab'''-圏」と呼ぶこともある。著者によっては前加法圏を''加法圏''と呼ぶこともあるが、ある特別な前加法圏(以下の[[#特別な場合]]を参照)のことを加法圏と呼ぶのが最近の傾向である。
 
== 例 ==
 
他の例:
* [[環 (数学)|環]] ''R'' 上の(左)[[環上の加群|加群]]の[[加群圏|{{math|''R''-'''Mod'''}}]]。特に
** [[可換体|体]] ''K'' 上の[[線形空間]]の{{仮リンク|[[ベクトル空間の圏|en|category of vector spaces{{math|label= 圏 <sub>''K''</sub>'''Vect'''}}]]
* 環 ''R'' 上の[[行列]]を{{仮リンク|加法圏|en|Additive category|preserve=1}}の項目と同じ方法で圏とみなした '''Mat'''(''R'')
* 任意の環をひとつの対象のみからなる圏と考えたとき、前加法圏である。ここで、射の合成は環の積であり、唯一のhom集合は台となる可換群である。
 
各hom集合 Hom(''A'',''B'') は可換群であるので、[[ゼロ元]] 0 を持つ。これは、''A'' から ''B'' への[[ゼロ射]]である。射の合成が双線形であることから、ゼロ射との合成(どちらの向きでも)はまたゼロ射になる。簡単な直観として、合成を乗法のようなものだと思えば、これはゼロとの積がいつでもゼロになることを言っている。この考えを進めると、合成の双線形性は加法に関する乗法の[[分配法則]]であることが分かる。
 
前加法圏のひとつの対象 ''A'' に注目すると、これらの事実から[[自己準同型]]のhom集合 Hom(''A'',''A'') は合成を乗法にとると環になることが分かる。この環は''A''の[[準同型|自己準同型環]]である。逆に、全ての(単位元を持つ)環はある前加法圏の自己準同型環である。実際、環 ''R'' について、前加法圏 ''R'' をただひとつの対象 ''A'' を持ち、Hom(''A'',''A'') を ''R'' とし、合成を環の積とすることで定義することができる。''R''は可換群であり乗法は環の双線形(分配法則を満たすこと)であるので、''R'' は前加法圏となる。圏論の研究者は環 ''R'' と 圏 ''R'' を同じものの異なる表現と考えることがよくある。さらに一部の[[アブストラクト・ナンセンス|ひねくれた]]研究者は環をちょうどひとつの対象からなる前加法圏であると定義しようとする([[モノイド]]をひとつの対象からなる圏とみなすことと同様である ― そして、環の加法的な構造を忘れるとモノイドになる)。
 
このように、前加法圏は環の一般化であるとみることができる。環論の多くの概念、例えば[[イデアル]]、[[可換環|ジャコブソン根基]]、[[剰余環]]はこの設定の下でそのまま一般化可能である。この一般化を行う場合は、前加法圏の射を「一般化された環」の「元」だと考えるとよい。この記事ではこれ以上は踏み込まないことにする。
 
== 加法的関手 ==
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