「ルース＝アーロン・ペア」の版間の差分

'''ルース＝アーロン・ペア'''（{{lang-en-short|Ruth–Aaron pair}}）とは、2 つの連続した[[自然数]]のそれぞれの[[素因子数]]の[[総和]]が、互いに等しくなる組のことである。非常に少なく、20000 以下では 26 組しか存在しない。

[[アメリカ合衆国]]で活躍した[[野球選手]]、の[[ベーブ・ルース]]が[[1935年]]に達成した通算[[本塁打]]記録 714 本（当時歴代 1 位）を、同国の野球選手の[[ハンク・アーロン]]が[[1974年]]に通算 715 本目の本塁打を放ち、その記録を破った。この時の記録 (714, 715) が上記の性質になる事からこの名がつ付いた。

* {{math|714 × 715 {{=}} 17# {{=}} 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × 17 {{=}} 510510}} となる（{{math|''p''#}} は {{math|2}} から {{mvar|p}} までの[[素数]]の[[総乗]]で、[[素数階乗]]<ref>あるいはユークリッド数。</ref>と呼ばれる)）。

このような性質も合わ併せ持つルース＝アーロン・ペアはさらに少なく、{{math|20000}} 以下ではわずか 2 組である（{{math|(5, 6)}} と {{math|(714, 715)}} の 2 組)）。

:([[5]], [[6]]), ([[8]], [[9]]), ([[15]], [[16]]), ([[77]], [[78]]), ([[125]], [[126]]), ([[714]], [[715]]), (948, 949), (1330, 1331), (1520, 1521), (1862, 1863), (2491, 2492), (3248, 3249), (4185, 4186), (4191, 4192), (5405, 5406), (5560, 5561), (5959, 5960), (6867, 6868), (8280, 8281), (8463, 8464), (10647, 10648), (12351, 12352), (14587, 14588), (16932, 16933), (17080, 17081), (18490, 18491), ...…（{{OEIS|A039752}}）

ただしルース＝アーロン・ペアは、[[素因数分解]]したとき {{math|8 {{=}} 2³}} など指数部が現れの重複する数の場合「素因子数によって以下の総和」は {{math|2 + 2 + 2}} というように計算す定義ができる。

ルース＝アーロン・ペアと同様に 3 つ組の数によって'''ルース＝アーロン・トリプレット'''（{{lang-en-short|Ruth&ndash;Aaron triplet}}）も定義される。そのうち最小のもの組は {{math|(417162, 417163, 417164)}} であり、

でとなり、素因子数の和は全て等しい。

ルース＝アーロン・ペア及び[[#ルース＝アーロン・トリプレット|ルース＝アーロン・トリプレット]]が無限数に存在するかどうかは分かっていない。発見者の知人は、無限数に存在すると予想している。

{{mvar|x}} 以下のルース＝アーロン・ペアの個数は
:{{math|''O''(''x'' {{sfrac|(log log ''x'')⁴|(log ''x'')²}})}}
であることが知られている。特に、ルース＝アーロン・ペアが無限数に多く存在するとしても、その逆数の和は収束することが[[カール・ポメランス]]により証明されている{{sfn|Pomerance|2002}}。

* {{cite journal|first=Carl |last=Pomerance |url=http://www.math.dartmouth.edu/~carlp/PDF/paper130.pdf |chapter=Ruth&ndash;Aaron numbers revisited|title=Paul Erdös and his Mathematics |journal= Bolyai Soc. Math. Stud.|volume=11|publisher=János Bolyai Math. Soc., |location=Budapest |date=2002 | pages=567&ndash;579|ref=harv}}